Einsteins mångfald

Ett Einstein-grenrör är ett Riemann- eller pseudo-Riemann- grenrör vars Ricci-tensor är proportionell mot den metriska tensorn .

Detta villkor är uppfyllt för lösningar av Einsteins ekvationer med en kosmologisk konstant som kanske inte är noll , men i allmänhet kan dimensionen av Einsteins grenrör och dess signatur vara godtyckliga - de behöver inte vara de fyrdimensionella Lorentziska grenrören som studeras i allmän relativitetsteori .

Uppkallad efter Albert Einstein .

Definition

Ett Riemann-grenrör är ett Einstein-grenrör om

\mathrm {Ric} =k\cdot g

för någon konstant , där betecknar Ricci-tensorn och är den metriska tensorn . $k$ $\mathrm {Ric}$ $g$

I fallet kallas ett sådant grenrör också Ricci-flat . $k=0$
Einsteins ekvation med den kosmologiska konstanten är som följer $\lambda$ $R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

i vakuum är energi-momentum-tensorn noll. Så ekvationen minskar till

{\displaystyle T_{ab))

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

som kan skrivas om som

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda }{n-2}}\cdot g_{ab}.

Det vill säga för den kosmologiska konstanten vi har .

\lambda

k={\tfrac {2\cdot \Lambda }{n-2))

Varje grenrör med konstant tvärsnittskrökning; särskilt:
- Det euklidiska rummet är platt och därför Ricci-platt och i synnerhet en Einstein-manifold.
- Enhetssfär , Einstein s . ${\mathbb {S}}^{n}$ $k=n-1$
- Lobachevsky-rummet är einsteinskt med negativt . $k$
Komplexa projektiva utrymmen, med Fubini-Study-metriken . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Calabi-Yau Ricci-utrymmet är platt och är i synnerhet ett Einstein-grenrör.

Hitchin-Thorpe-ojämlikheten är ett nödvändigt topologiskt villkor för existensen av Einstein-metriken på en sluten , orienterad, fyrdimensionell mångfald.