Grenrör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 februari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett grenrör ( topologiskt grenrör ) är ett rum som lokalt liknar euklidiskt . Euklidiska rymden är det enklaste exemplet på ett grenrör. Dimensionen av ett grenrör bestäms av dimensionen av det euklidiska rummet som det är lokalt likt.

Ett mer komplext exempel är jordens yta : det är möjligt att göra en karta över vilket område som helst av jordens yta, till exempel en karta över en halvklot, men det är omöjligt att göra en enda (platt och utan diskontinuiteter) ) karta över hela dess yta.

Studiet av grenrör började under andra hälften av 1800-talet; de uppstod naturligt i studiet av differentialgeometri och teorin om Lie-grupper . De första exakta definitionerna gjordes dock först på 30-talet av XX-talet.

Vanligtvis betraktas de så kallade släta grenrören , det vill säga de där det finns en särskiljande klass av släta funktioner - i sådana grenrör kan man tala om tangentvektorer och tangentutrymmen. För att mäta längden på kurvor och vinklar behöver vi en extra struktur - Riemann-metriken .

I klassisk mekanik är det underliggande grenröret fasutrymmet . I allmän relativitetsteori används ett fyrdimensionellt pseudo-Riemannmanifold som en modell för rumtid .

Definitioner

$n$ Ett dimensionellt topologiskt grenrör utan gräns är ett Hausdorff-topologiskt utrymme med en räknebar bas där varje punkt har ett öppet kvarter som är homeomorft till en öppen delmängd , det vill säga ett dimensionellt euklidiskt utrymme . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

$n$ -dimensionell topologisk mångfald[ förtydliga ] är ett Hausdorff-topologiskt utrymme med en räknebar bas , där varje punkt har en stadsdel som är homeomorf till en öppen delmängd av ett stängt halvrum i (vi betraktar också öppna föreningar av öppna undermängder med skärningspunkten mellan deras gräns- och gränshyperplan ). $\mathbb {R} ^{n}$

Punkter som har en öppen grannskap som är homeomorf till en öppen delmängd kallas interna , och mängden av alla sådana punkter är det inre av grenröret (det är alltid en icke-tom uppsättning). $\mathbb {R} ^{n}$
Komplementet till interiören kallas en gräns , det är ett dimensionellt grenrör utan gräns. $(n-1)$

Funktioner i definitionen

Basräknebarhetsvillkoret är ekvivalent med det faktum att mångfalden bäddas in i ett euklidiskt utrymme av ändlig dimension (det faktum att en sådan inbäddning existerar bekräftas av Whitneys inbäddningssats ).
Ibland, istället för basräknebarhetsvillkoret, används ett svagare villkor för att utrymmet ska vara parakompakt [1] .
Begreppet kant som introduceras här är inte på något sätt likvärdigt med begreppet en relativ gräns i allmän topologi.
Kravet på att vara Hausdorff kan tyckas överflödigt; Ett exempel på ett utrymme som är lokalt homeomorft till euklidiskt men inte Hausdorff kan konstrueras genom att limma två kopior av den verkliga linjen på alla utom en punkt.

Släta grenrör

Den släta strukturen som definieras nedan förekommer vanligtvis i nästan alla applikationer och gör grenröret mycket lättare att arbeta med.

För en topologisk mångfald utan gräns är en karta en homeomorfism från en öppen uppsättning till en öppen delmängd . En uppsättning kartor som täcker allt kallas en atlas . $M$ $\varphi$ $U\subset M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M$

Om två kartor och täcker en punkt i , definierar deras sammansättning en "limning" karta från den öppna uppsättningen till den öppna uppsättningen . Om alla limmappningar är från en klass (det vill säga gånger kontinuerligt differentierbara funktioner), så kallas atlasen en atlas (man kan också betrakta eller , vilket motsvarar oändligt differentierbara och analytiska limningar). $\varphi$ $\psi$ $M$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Exempel: en sfär kan täckas - med en atlas över två kartor över tilläggen av nord- och sydpolen med stereografiska projektioner i förhållande till dessa poler. $C^\infty$

Två atlaser definierar en slät struktur om deras förening är -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

För sådana grenrör kan man introducera begreppen tangentvektor , tangent- och cotangenta utrymmen och buntar .

För en given -slät struktur kan man hitta en -slät struktur som ges av en ny -atlas som definierar samma -släta struktur. Dessutom är alla sådana grenrör som erhålls på detta sätt -diffeomorfa. Därför förstås en slät struktur ofta som en -slät struktur. $C^1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $C^1$ $C^\infty$ $C^1$

Inte varje topologisk grenrör medger en jämn struktur. Exempel på sådana "grova" grenrör förekommer redan i dimension fyra. Det finns också exempel på topologiska grenrör som tillåter flera olika släta strukturer. Det första sådana exemplet på en icke-standard slät struktur, den så kallade Milnor-sfären , konstruerades av Milnor på en sjudimensionell sfär.

Exempel

Det enklaste exemplet på ett grenrör är utrymmena $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
En cirkel är ett grenrör med dimension 1. I allmänhet kan alla icke-självkorsande konturer betraktas som ett endimensionellt grenrör. Observera att för en ojämn kontur är motsvarande mappning av inbäddningen i inte en mappning av släta grenrör. $\mathbb {R} ^{n}$
Skivan är ett grenrör med gräns .
Varje tvådimensionell yta utan kant är ett exempel på ett tvådimensionellt grenrör ( sfär , torus , kringla , …). Enligt den välkända topologiska klassificeringssatsen har varje orienterbart tvådimensionellt grenrör formen av en sfär med flera limmade handtag.
En Möbiusremsa är ett exempel på ett tvådimensionellt icke-orienterbart grenrör med gräns. Ett exempel på ett icke-orienterbart tvådimensionellt grenrör utan gräns är det projektiva planet (grenröret av linjer i ). Observera att det inte går att bädda in i . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$
Alla ovanstående exempel på grenrör kan vara unikt utrustade med en slät struktur. I högre dimensioner är dock olika släta strukturer möjliga på samma topologiska grenrör.
Icke-triviala exempel på grenrör av vilken dimension som helst är projektiva utrymmen (en mängd olika linjer i ) och Grassmanniska grenrör (en mängd olika dimensionella delrum i ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$

Fördelningstyper

Ett slutet grenrör är ett kompakt anslutet grenrör utan gräns. Exempel: cirkel , sfär , torus , Klein flaska .
Ett öppet grenrör är ett icke- kompakt anslutet grenrör utan gräns. Exempel: Euklidisk rymd .

Klassificering av grenrör

Varje anslutet endimensionellt grenrör utan gräns är homeomorft till en verklig linje eller cirkel.

Den homeomorfa klassen för en sluten ansluten yta ges av dess Euler-karaktäristik och orienterbarhet (om ytan är orienterbar är det en sfär med handtag , om inte, då den anslutna summan av flera kopior av det projektiva planet ).

Klassificeringen av slutna 3 -grenrör följer av Thurstons gissning , som nyligen bevisades av Perelman .

Om dimensionen är större än tre är klassificering omöjlig; dessutom är det inte möjligt att konstruera en algoritm som avgör om ett grenrör helt enkelt är anslutet . Det finns dock en klassificering av alla enkelt anslutna grenrör i alla dimensioner ≥ 5.

Man kan också klassificera släta grenrör.

I dimensionerna 1, 2 och 3 är alla par av homeomorfa grenrör också diffeomorfa.
I dimension 4 finns det exempel på slutna grenrör som tillåter ett oändligt antal icke-ekvivalenta släta strukturer, medan öppna grenrör, såsom , tillåter ett kontinuum av olika släta strukturer. $\R^4$
I dimensionerna 5 och uppåt tillåter vilket topologiskt grenrör som helst ett ändligt antal icke-ekvivalenta jämna strukturer.

Ytterligare strukturer

Släta grenrör är ofta utrustade med ytterligare strukturer. Här är en lista över de vanligaste ytterligare strukturerna:

Metrisk tensor
Symplektisk form
Komplex struktur

Variationer och generaliseringar

Se även

Algebraisk variation
graf-grenrör

Anteckningar

↑ S. Lang. Introduktion till differentierbara grenrör. — 2:a. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 sid. — ISBN 0-387-95477-5 .

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. modern geometri. Metoder och tillämpningar. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 sid.

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte