Grov sort

Ett grovt eller ojämt grenrör är ett topologiskt grenrör som inte tillåter en jämn struktur. Mer exakt är ett topologiskt grenrör inte homeomorft till något jämnt grenrör.

Exempel

E 8 -sort
Ta -dimensionell Milnor grenrör , ; är parallelliserbar, dess signatur är , och dess gräns är homotopiskt ekvivalent med en sfär . Att limma till konen för att leda till rymden . Dessutom, eftersom det finns en bitvis linjär sfär (se den generaliserade Poincare-förmodan ), då en bitvis linjär kula, så är det också en bitvis linjär grenrör . Å andra sidan finns det ett grovt grenrör, eftersom dess signatur är 8, och signaturen för ett jämnt nästan parallelliserbart (dvs. parallelliserbart efter att en punkt punkteras) -dimensionellt grenrör är en multipel av , som växer exponentiellt som . $4k$ ${\displaystyle W^{4k))$ $k>1$ ${\displaystyle W^{4k))$ $åtta$ ${\displaystyle M=\partial W^{4k))$ $S^{4k-1}$ ${\displaystyle W^{4k))$ $C(M)$ $\partial W^{4k}$ ${\displaystyle P^{4k))$ $M$ $C(M)$ ${\displaystyle P^{4k))$ ${\displaystyle P^{4k))$ $4k$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k$
- I synnerhet följer det av detta att grenröret inte är diffeomorft till sfären . $M$ $S^{4k-1}$

Ett kriterium för jämnheten hos ett bitvis linjärt grenrör

Låta vara en ortogonal grupp , en vara en grupp av ursprungsbevarande bitvis linjär homeomorphisms . Inkluderingen inducerar en bunt , där är gruppens klassificeringsutrymme . För vi får ett knippe vars fiber betecknas med . Ett styckvis linjärt grenrör har ett linjärt stabilt normalknippe , klassificerat genom en avbildning . Om är ett jämnt (utjämnat) grenrör, så har det ett stabilt vektornormalknippe , klassificerat av mappningen , och . Detta villkor är också tillräckligt, dvs. $På}$ $PL_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $O_{n}\to PL_{n}$ $BO_{n}\to BPL_{n}$ $BG$ $G$ $n\till\infty$ $p:BO_{n}\to BPL_{n}$ $M/O$
$X$ $\nu$ $\nu :X\to BPL_{n}$
$X$ ${\bar {\nu ))$ ${\bar {\nu }}:X\to BO_{n}$ $p\circ {\bar {\nu }}=\nu$

En stängd bitvis linjär grenrör är utjämningsbar om och endast om dess bitvis linjära stabila normalbunt tillåter vektorreduktion, det vill säga när avbildningen "lyfter" in i (det vill säga det finns en sådan ). $X$ $\nu :X\to BPL_{n}$ $BO_{n}$ ${\bar {\nu }}:X\to BO_{n}$ $p\circ {\bar {\nu }}=\nu$

Se även

Milnors sfär

Litteratur

Milnor J., Stashef J. Karakteristiska klasser, övers. från engelska, - M. , 1979.
Kervaire M. "Kommentar, matematik, helv.", 1960, t. 34, sid. 257-70;