Nedbrytning till handtag

Handtagets nedbrytning av m - grenrör M är en filtrering

\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M

varifrån var och en erhålls genom sammanfogningshandtag . Handtagsnedbrytningen för ett grenrör motsvarar CW-sönderdelningen i det topologiska rummet - handtagssönderdelningen tillåter oss att använda metoder för att studera CW-komplex anpassade till världen av släta grenrör . Således är i -handtaget en jämn analog till i -cellen. Hantera nedbrytningar av grenrör uppstår från Morse teorin . Modifieringen av handtagsstrukturer är nära relaterad till Cerfs teori . $Mi}$ $M_{{i-1}}$ $i$

Bakgrund

Betrakta en standard CW-partition av en n -sfär med en nollcell och en n -cell. Ur släta grenrörs synvinkel är det en degenererad uppdelning av sfären, eftersom det inte finns något naturligt sätt att se en jämn struktur med denna partition, i synnerhet beror den släta strukturen nära 0 -cellen på beteendet hos karakteristisk kartläggning i närheten av . $S^{n}$ $\chi :D^{n}\to S^{n}$ $S^{{n-1}}$

Problemet med CW-sönderdelning är att kartläggningar av sammanfogade celler inte lever i en värld av jämna avbildningar mellan grenrör. Den ursprungliga idén för att korrigera denna defekt är den rörformiga grannskapssatsen . Givet en punkt p på ett grenrör M , är dess slutna rörformiga grannskap diffeomorft . Således erhåller vi en partition av M i en disjunkt union och limmade längs deras gemensamma gräns. Huvudfrågan här är om denna limmapping är en diffeomorfism. Ta en jämn kurva inbäddad i , dess rörformade grannskap är diffeomorft . Detta tillåter oss att skriva som en förening av tre grenrör limmade längs delar av deras gränser: $N_p$ ${\displaystyle D^{m))$ $N_p$ $M\setminus \operatörsnamn {int} (N_{p})$ $M\setminus \operatörsnamn {int} (N_{p})$ $I\times D^{m-1}$ $M$

${\displaystyle D^{m))$
$I\times D^{m-1}$
komplementet till det öppna rörformiga området av kurvan i . $M\setminus \operatörsnamn {int} (N_{p})$

Observera att alla limmade mappningar är släta, i synnerhet när vi limmar med , bildas ekvivalensrelationen genom inbäddning i , som är slät av den rörformade grannskapssatsen . $I\times D^{m-1}$ ${\displaystyle D^{m))$ ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1))$ ${\displaystyle \partial D^{m))$

Handtagsutvidgningar introducerades av Steven Smale [1] . I den ursprungliga formuleringen förutsätter processen att fästa ett j -handtag på ett m -grenrör M att inbäddningen utförs i . Låt . Ett grenrör (med andra ord en förening av M med ett j -handtag längs f ) motsvarar en disjunkt förening av och med en identifikation med dess bild i , det vill säga: ${\displaystyle f:S^{j-1}\ gånger D^{mj))$ $\partiell M$ ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\ gånger D^{mj))$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j))$ $M$ ${\displaystyle H^{j))$ ${\displaystyle S^{j-1}\ gånger D^{mj))$ $\partiell M$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

där ekvivalensrelationen ges som för alla . $\sim$ $(p,x)\sim f(p,x)$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{mj}\subset D^{j}\times D^{mj))$

Ett grenrör N sägs erhållas från M genom att addera j -handtag om föreningen av M med ett ändligt antal j -handtag är diffeomorf till N . Då definieras nedbrytningen till handtag av ett grenrör som ett gradvis tillägg till den tomma uppsättningen handtag, så att vi i slutändan får . Således har ett grenrör en handtagsnedbrytning med 0 -handtag endast om det är diffeomorft till en osammanhängande förening av kulor. Ett anslutet grenrör som innehåller handtag av endast två typer (det vill säga 0-handtag och j -handtag för vissa fasta j ) kallas en kropp med handtag . $M$ $M$

Terminologi

Låt oss ta en union M med ett j -handtag : ${\displaystyle H^{j))$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ kallas sticksfären (eller plantarsfären ) [2] .

$f$ kallas ibland inramningen av limsfären eftersom den ger en trivialisering av dess normala bunt .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{mj-1}\subset D^{j}\times D^{mj}=H^{j))$ är gördeln på handtaget i . ${\displaystyle H^{j))$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j))$

Det grenrör som erhålls genom att fästa kopior av -handtag på skivan är en (m, k) -kropp med handtag av släktet g . $g$ $k$ ${\displaystyle D^{m))$

Representationer av kobordismer

Handtagsrepresentationen av kobordismen består av kobordismen W var och filtreringen ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1))$

W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W

där och är -dimensionella grenrör, är -dimensionella, diffeomorft , och erhålls från genom att lägga till i -handtag. Eftersom handtagsupplösningar för grenrör är analoga med cellnedbrytningar av topologiska utrymmen, är handtagsrepresentationer av kobordism för grenrör med gränser analoga med relativa cellnedbrytningar av par av utrymmen. $M_{0}$ $M_{1}$ $m$ $W$ $m+1$ $W_{{-1}}$ $M_{0}\ gånger [0,1]$ $W_i$ $W_{i-1}$

Ur Morse-teorins synvinkel

Om en morsefunktion ges på ett kompakt grenrör M utan gräns så att de kritiska punkterna för funktionen uppfyller och $f:M\to \mathbb {R}$ $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$ $f$ $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k }

då för alla j är det diffeomorft , där är indexet för den kritiska punkten . Indexet motsvarar dimensionen av tangentrummets maximala delrum , där hessian är negativt bestämd. $f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\ gånger [0,1])\cup H^{I(j)))$ $I(j)$ ${\displaystyle p_{j))$ $I(j)$ $T_{p_{j}}M$

Om indexen tillfredsställer ojämlikheten får vi en nedbrytning i handtag av grenröret M . Dessutom har alla grenrör en sådan morsefunktion, så de har handtagsnedbrytningar. På samma sätt, givet ett kobordism c och en funktion som är en morsefunktion på insidan, är konstant på gränsen och uppfyller indexökningsegenskapen, finns det en genererad kobordismhandtagsrepresentation W . $I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)$ $W$ ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1))$ $f:W\to \mathbb {R}$

If är en morsefunktion , är också en morsefunktion. Motsvarande handtagsupplösning/kobordismrepresentation kallas den dubbla nedbrytningen . $f$ $M$ $-f$

Några huvudsatser och observationer

Heegaard -plattläggningen av ett slutet orienterbart 3-grenrör är en plattsättning av ett 3 - grenrör i föreningen av två (3,1) -kroppar med handtag längs sin gemensamma gräns, vilket kallas Heegaard-plattläggningen för en yta. Heegaard plattsättningar uppstår för 3 - grenrör på flera naturliga sätt. Om en sönderdelning av ett 3-grenrör till handtag ges, är föreningen av 0 - och 1 -handtag en (3,1) -kropp med handtag, och föreningen av 3 - och 2 -handtag ger också en (3, 1) -kropp med handtag (ur den dubbla plattsättningens synvinkel), det vill säga Heegaard plattsättningen. Om ett 3 -grenrör har en triangulering T , så finns det en genererad Heegaard-platta, där den första (3,1) -kroppen med handtag är en regelbunden grannskap av 1 -skelettet och den andra (3,1) -kroppen med handtag är en vanlig stadsdel av den dubbla 1 -kärniga . $T^{1}$
Om vi bifogar två handtag i sekvens kan vi ändra bifogningsordningen, förutsatt att detta grenrör är diffeomorft till vygrenröret för lämpliga bifogade mappningar. ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j))$ $j\leqslant i$ ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i))$
Gränsen är diffeomorf till , skuren längs den inramade sfären . Detta är huvudlänken mellan operation , handtag och Morses funktioner. ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j))$ $\partiell M$ $f$
Som en konsekvens är ett m -grenrör M gränsen för ett m+1 -grenrör W om och endast om M kan erhållas från kirurgi på en uppsättning inramade länkar i . Till exempel är vilket 3 -grenrör som helst känt för att vara gränsen för ett 4 -grenrör (på liknande sätt är orienterade spinor 3 -grenrör gränsen för orienterade respektive spinor 4 - grenrör) enligt René Thoms arbete om kobordism . Således kan vilket 3-grenrör som helst erhållas genom kirurgi på riggade länkar på 3 -sfären. I det orienterade fallet är det vanligt att reducera dessa inramade länkar till en inramad inbäddning av en osammanhängande förening av cirklar. ${\displaystyle S^{m))$ ${\displaystyle S^{m))$
h - kobordismsatsen bevisas genom att förenkla handtagsnedbrytningarna av släta grenrör.

Se även

Pen Casson
Teori om [ko]bordismer
CW-komplex
kropp med handtag
Kirby Calculus
Nedbrytning av ett grenrör

Anteckningar

↑ Smale, 1962 , sid. 387–399.
↑ Scorpan, 2016 , sid. 46.

Litteratur

Smale S. Om grenrörens struktur // Amer. J Math. - 1962. - T. 84 .
- Artikeln är omtryckt i boken: S. Smale. Om grenrörens struktur // Topologiskt bibliotek. Del 1: Kobordism och deras tillämpningar / Ansvarig redaktör: Louis H. Kauffman; Redaktörer: SP Novikov, IA Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. - V. 39. - (SERIEN OM KNUTAR OCH ALLT). - ISBN 978-981-270-559-4 .
Scorpan A. Den fantastiska världen av fyrdimensionella grenrör. — M. : MTsNMO, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7 .

Huvudlitteratur

Kosinksi A. Differentialfördelare. - Academic Press, 1992. - V. 138. - (Ren och tillämpad matematik).
Robert Gompf, Andras Stipsic. 4-grenrör och Kirby Calculus. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. - V. 20. - ( Graduate Studies in Mathematics ). - ISBN 0-8218-0994-6 .