Surfteori

På gränsen mellan singularitetsteori och differentialtopologi studerar Cerfs teori familjer av jämna verkliga funktioner

f\colon M\to \mathbb {R}

på ett jämnt grenrör , deras typiska singulariteter och topologin av delrum som dessa singulariteter definierar som delrum av funktionsutrymmet. Teorin är uppkallad efter Jaune Cerf , som började utveckla teorin i slutet av 1960-talet. $M$

Exempel

Marston Morse bevisade att om kompakt, vilken smidig funktion som helst $M$

f\colon M\to \mathbb {R}

kan approximeras av morsefunktionen . Således kan man för många ändamål ersätta godtyckliga funktioner med morsefunktioner. $M$

Nästa steg kan man fråga sig: "Om du har en 1-parameters familj av funktioner som börjar och slutar med morsefunktioner, kan vi vara säkra på att hela familjen består av morsefunktioner?" Generellt sett är svaret nej . Tänk till exempel på familjen

f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx

som en 1-parameters familj av funktioner på . I stunden $M=\mathbb {R}$

t=-1

funktionen har inga kritiska punkter, och för tillfället

t=1

funktionen är en morsefunktion med två kritiska punkter

x=\pm 1

Cerf visade att en 1-parameters familj av funktioner mellan två morsefunktioner kan approximeras av en familj av morsefunktioner överhuvudtaget utom ett ändligt antal tidpunkter. Degeneration visar sig i uppkomsten/försvinnandet av kritiska punkter, som i exemplet ovan.

Bunt av oändligt dimensionellt utrymme

Låt oss återgå till det allmänna fallet när är ett kompakt grenrör. Låt beteckna utrymmet för morsefunktioner $M$ $\operatorname {Morse} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R} \,

a betecknar utrymmet för smidiga funktioner $\operatörsnamn {Func} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R}

Morse bevisade det

\operatörsnamn {Morse} (M)\subset \operatörsnamn {Func} (M)

är öppen och tät i topologin . $C^\infty$

Det finns en intuitiv analogi. Betrakta Morse som en öppen fiber med maximal dimension i bunten (vi hävdar inte att en sådan bunt existerar, men vi antar att den gör det). Observera att i fiberutrymmen är en öppen fiber med kodimension 0 öppen och tät. För att förenkla notationen vänder vi om konventionerna för att indexera buntar i ett fiberutrymme och indexerar det öppna lagret inte efter dess dimension, utan efter dess kodimension. Detta är bekvämare, eftersom det är oändligt dimensionellt om det inte är en ändlig uppsättning. Genom antagande är det öppna lagret med kodimension 0 av utrymmet , det vill säga . I ett skiktat utrymme är det ofta frånkopplat. En väsentlig egenskap hos ett lager med kodimension 1 är att vilken bana som helst i , som börjar och slutar i , kan approximeras av en bana som skär vinkelrätt vid ett ändligt antal punkter och inte skär för någon . $\operatörsnamn {Func} (M)$ $\operatörsnamn {Func} (M)$ $M$ $\operatörsnamn {Func} (M)$ $\operatorname {Morse} (M)$ $\operatörsnamn {Func} (M)^{0}=\operatörsnamn {Morse} (M)$ $X$ $X^{0}$ $X^{1}$ $X$ $X^{0}$ $X^{1}$ ${\displaystyle X^{i))$ $i>1$

Sedan är Cerfs teori en teori som studerar lager med positiv kodimension, det vill säga för . När $\operatörsnamn {Func} (M)$ $\operatorname {Func} (M)^{i}$ $i>0$

f_{t}(x)=x^{3}-tx

bara för funktion är inte en morsefunktion och $t=0$

{\displaystyle f_{0}(x)=x^{3))

har en kubiskt degenererad kritisk punkt som motsvarar utseendet/försvinnandet av en singularitet.

Den enda parametern (tid), satsen för satsen

Morsesatsen säger att om är en morsefunktion så är den nära den kritiska punkten konjugerad till en funktion av formen $f\colon M\to \mathbb {R}$ $sid$ $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2} x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

var . ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\))$

Cerfs teorem för en 1-parameterfamilj fastställer en väsentlig egenskap hos en fiber med kodimension ett.

Nämligen, om är en 1-parameterfamilj av jämna funktioner på c och är morsefunktioner, så finns det en jämn 1-parameterfamilj , så att , är enhetligt nära intopologin på funktionerna . Dessutom finns Morse-funktioner överhuvudtaget utom ett begränsat antal punkter. På punkter där funktionen inte är en morsefunktion har funktionen bara en degenererad kritisk punkt , och nära denna punkt är familjen konjugerad till familjen $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ $M$ $t\in [0,1]$ ${\displaystyle f_{0},f_{1))$ $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1))$ $F$ $f$ $C^k$ $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$ $Med$ $sid$ $Med$

g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1 }+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

var . Om , kommer detta att vara en 1-parameters familj av funktioner där två kritiska punkter skapas (som ) ökar , och för detta kommer att vara en 1-parameter familj där två kritiska punkter försvinner. $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$ $\epsilon _{1}=-1$ $t$ $\epsilon _{1}=1$

Origins

Det bitvis linjära - Schoenflies-problemet förlöstes av JW Alexander 1924. Hans bevis anpassades för det smidiga fallet av Morse och Bayad [1] . Den väsentliga egenskapen användes av Cerf för att bevisa att all orienteringsbevarande diffeomorfism är isotop för identiteten [2] , vilket anses vara en 1-parameters förlängning av Schoenflies sats för. Följdenpå den tiden användes flitigt i differentiell topologi. Den väsentliga egenskapen användes senare av Cerf för att bevisa pseudoisotopisatsen [3] för flerdimensionella enkelt sammankopplade grenrör. Beviset är en 1-parameters förlängning av Smales bevis för h-kobordismsatsen (Morse, såväl som Milnor [4] och Cerf-Gramain-Maurin [5] skrev om Smales bevis i termer av funktionsbegreppet, efter ett förslag av Tom). $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$ $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $\Gamma _{4}=0$

Cerfs bevis är baserat på Tom och Mathers arbete [6] . En användbar modern översikt av Tom och Mathers arbete är boken av Glubitsky och Guilman [7] .

Applikationer

Förutom ovanstående tillämpningar använde Robion Kirby Cerfs teori som ett nyckelsteg i motiveringen av Kirbys kalkyl .

Generalisering

Komplementbunten av ett delrum av oändlig kodimension av rymden av släta avbildningar utvecklades så småningom av Sergeraer [8] . ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \))$

På 1970-talet löstes problemet med klassificering för pseudoisotopier av grenrör som inte bara är sammankopplade av Hatcher och Wagoner [9] , som upptäckte algebraiska -förstörelser $K_{i}$ på ( ) och ( ), och av Kiyoshi Igusa, som upptäckte förstörelser av liknande karaktär på ( ) [10] . $\pi _{1}M$ $i=2$ $\pi _{2}M$ $i=1$ $\pi _{1}M$ $i=3$

Anteckningar

↑ Morse, Baiada, 1953 , sid. 142–165.
↑ Cerf, 1968 .
↑ Cerf, 1970 , sid. 5–173.
↑ Milnor, 1965 .
↑ Cerf, Gramain, 1968 .
↑ Mather, 1969 .
↑ Golubitsky, Guillemin, 1973 .
↑ Sergeraert, 1972 , sid. 599–660.
↑ Hatcher, Wagoner, 1973 .
↑ Igusa, 1988 , sid. vi+355.

Litteratur

Marston Morse , Emilio Baiada Homotopi och homologi relaterad till Schoenflies-problemet // Annals of Mathematics . - 1953. - T. 58 . — S. 142–165 . - doi : 10.2307/1969825 .
Mather J. Klassificering av stabila bakterier genom R-algebras // Publ. Matematik. IHES. — 1969.
Golubitsky M., Guillemin V. Stallkartläggningar och deras singulariteter. - Springer-Verlag, 1973. - V. 14. - (Examinerade texter i matematik).
Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois ( ). - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1968. - V. 53. - (Lecture Notes in Mathematics). $\Gamma _{4}=0$
Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1970. - T. 39 . — S. 5–173 .
Milnor J. Föreläsningar om h-kobordismteorem, anteckningar av L.Siebenmann och J.Sondow. — Princeton matematik. Anteckningar, 1965.
Jean Cerf, Andre Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale) . — Ecole Normale Superieure, 1968.
Sergeraert F. Un theoreme de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications // Ann. sci. Ecole Standard. Sup .. - 1972. - V. 5 , nr. 4 .
Allen Hatcher, John Wagoner. Pseudo-isotopier av kompakta grenrör // Asterisk. - Paris: Société Mathematique de France, 1973. - Vol. 6 .
Igusa K. Stabilitetssats för jämna pseudoisotopier. K-Theory 2. - 1988. - Issue. 1-2 .