Dyson-serien

En Dyson -serie är en serie störningar i spridningsteorin , vars termer kan representeras som ett Feynman-diagram . Serien bär namnet Freeman Dyson och avviker generellt, men redan den andra termen i denna serie i kvantelektrodynamik gör det möjligt att erhålla en noggrannhet på upp till 10 −10 på grund av den fina strukturkonstantens litenhet .

Konstruktionen av en Dyson-serie använder begreppet tidsmässig ordning .

System

Systemet studeras, beskrivet av Hamiltonian, som är summan av den opåverkade delen och störningen:

{\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}

I interaktionsrepresentationen uppfyller vågfunktionens evolutionsoperator Tomonaga-Schwinger-ekvationen ${\hat {U}}(t,t_{0})$

i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hat {V}}(t){\hat {U}}(t ,t_{0})

var

{\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar { \hat {H}}_{0}t},

eller integro-differentialekvationen

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V }}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}

Genom att ersätta evolutionsoperatorn från vänster sida till höger kan vi få en oändlig serie:

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V }}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ ldots

Dysons förslag

Dyson föreslog att förlänga integrationerna i varje integral från till , men att kräva att operatörerna alltid ordnas i tid, det vill säga att produkten alltid har . Då kommer var och en av villkoren i serien att öka i gånger. $t_{0}$ $t$ ${\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})$ ${\displaystyle t_{1}>t_{2))$ $n!$

Som ett resultat kommer den n:e medlemmen i serien att se ut så här:

{\hat {U}}_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!\hbar ^{n}}}\int _{t_{0}}^{ t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T }}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})\cdots {\hat {V}}(t_{n})))}.

var är den temporära beställningsoperatören. ${\mathcal {T}}$

Som en konsekvens kan Dyson-serien skrivas i en kompakt form:

{\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\hat {U}}_{n}(t,t_{0} )={\mathcal {T}}e^{-i/\hbar \int _{t_{0}}^{t}{d\tau {\hat {V}}(\tau ))).

Källor

A. G. Sitenko . Föreläsningar om spridningsteori. - Vishcha-skolan, 1971. - 260 sid. (ryska)