Evolution operatör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Evolutionsoperatorn ( generator av evolution i tid ) är en operatör i kvantmekanik , given på ett Hilbert-rum , som överför systemets tillstånd från det första tidsögonblicket till vilket som helst annat.

Anslutning av evolution-operatorn med Hamilton-operatorn

Evolutionsoperatorn är relaterad till Hamiltonoperatorn med följande formler:

${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}$

var är operatörerna för beställning och anti-beställning. $T,\överlinje {T}$

I synnerhet, om Hamiltonian inte är beroende av tid, har evolutionsoperatören formen:

${\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Egenskaper för evolution-operatorn

1. [1] är en enhetlig operator. ${\hat S}(t_{2},t_{1})$

2. . ${\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{ 3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , var är identitetsoperatören. ${\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1} ,t$ ${\hat jag}$

Härledning av förhållandet mellan evolutionsoperatorn och Hamiltonian

Enligt kvantmekanikens postulat beskrivs systemets rena tillstånd av en vektor från Hilbertrymden . Vi introducerar en operatör som agerar enligt regeln: $|\psi\rangle$ ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

Den införda operatorn måste vara enhetlig så att normaliseringen av tillståndsvektorn bevaras i tid. I Schrödinger-representationen uppfyller tillståndsvektorn Schrödinger-ekvationen:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

var är Hamilton-operatören . ${\hat H}(t)$

Om Hamiltonian inte är beroende av tid, då - är en lösning av Schrödinger-ekvationen. Det följer att evolutionsoperatorn har formen: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \räckvidd$

{\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}

Låt nu Hamilton-operatören bero på tid och låt . Sedan delar vi upp det betraktade tidsintervallet i intervall och antar att i vart och ett av dessa intervall är Hamilton-operatorn konstant , vid . Sedan när som helst, enligt det tidigare resonemanget, har tillståndsvektorn formen: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\hat H}(t)={\hat H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Låt oss nu introducera tidsbeställningsoperatören , som fungerar enligt följande regel: $T$

T\{{\hat H}(t_{{P(m)))){\hat H}(t_{{P(m-1))))\dots {\hat H}_{{P(1 )}}\}={\hat H}(t_{m}){\hat H}(t_{{m-1)))\dots {\hat H}(t_{1})

för , för varje permutation . $t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{{m}}$ $P(1,2\prickar ,m)$

Med detta i åtanke kan vågfunktionen skrivas som:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

För pendlingsoperatörer är det sant att . Eftersom operatörerna under T - beställningen pendlar, skrivs den senare om som: ${\hat A},{\hat B}$ $e^{{{\hat A}}}e^{{{\hat B}}}=e^{{{\hat A}+{\hat B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

När vi får det $n\högerpil\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Det är därför

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

Tänk nu på operatören för . Detta är samma sak om vi tänker på . Låt oss använda det faktum att ${\hat S}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\hat S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\hat S}(t_{0},t){\hat S}(t,t_{0})={\hat I}$

var är identitetsoperatören. ${\hat jag}$

Sedan:

\lim _{{n\rightarrow 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\hat I}

och genom direkt verifiering verifierar vi det

{\hat S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\hat H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\dots e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

var är tiden mot beställningsoperatör. $\overline {T}$

Anteckningar

↑ Evolutionsoperatorn måste vara enhetlig så att normaliseringen av tillståndsvektorn bevaras i tiden . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ Egenskap 3 är en konsekvens av egenskap 2.

Se även

Litteratur

Stefanucci, Gianluca. Nonequilibrium mångkroppsteori om kvantsystem: en modern introduktion / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - S. 81-85. — ISBN 9781139023979 .