Komprimerande kartläggning

En sammandragningsmappning är en kartläggning av ett metriskt utrymme i sig självt som minskar avståndet mellan alla punkter i någon stark mening.

Definition

Låt en operator definieras på ett metriskt utrymme . Det kallas kontraktering på om det finns ett icke-negativt tal så att ojämlikheten för två punkter $({\mathbb {M)],\rho )$ $A:{\mathbb {M}}\to {\mathbb {M}}$ ${\mathbb {M}}$ $\alfa<1$ $x,y\in {\mathbb {M}}$

{\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}

Egenskaper

(Kontinuitet) Låta vara ett metriskt utrymme och vara en kontraktionsoperator på . Sedan är en kontinuerlig funktion på . $({\mathbb {M)],\rho )$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$

(Fast punkt) Enligt Banachs teorem har en sammandragningsmappning på ett komplett metriskt utrymme en unik fixpunkt :

{\mathbb {}}x^{{*}}:Ax^{{*}}=x^{{*}}

(Iterativ sekvens) Om vi tar ett godtyckligt element i det metriska utrymmet och betraktar en sekvens av element , då kommer denna iterativa sekvens att konvergera till en fast punkt för operatorn . $x$ $x,Ax,A^{2}x,....$ $A$

Applikation

Numerisk lösning av ekvationer
Bevis på existens och unika satser i differentialekvationer och integralekvationer .

Länkar

A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin. Element i funktionsteori och funktionsanalys. - 4:e uppl. - M. : Nauka, 1976. - 544 sid.
Zorich V.A. Matematisk analys , - Vilken utgåva som helst.