Symmetri och antisymmetri av en tensor

Symmetri och antisymmetri av en tensor är operationerna för att konstruera en tensor av samma typ med en viss typ av symmetri. Till exempel är en symmetriisering av en tensor en symmetrisk tensor och en antisymmetrisering är en antisymmetrisk tensor . $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\över 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\över 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$

Symmetriseringsoperation :

A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\summa _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{ q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Summeringen utförs över alla permutationer av indexen inom parentes. Symmetriseringen av övre index definieras på liknande sätt; det är möjligt att symmetriska endast över en grupp av index av samma typ. Operationen kan också tillämpas på tensorprodukten av flera tensorer (som också är en tensor). Exempel: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$

A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk })

Funktionen av antisymmetrisering eller alternering definieras enligt följande:

A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\summa _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operatörsnamn {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k} )m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Summeringen utförs återigen över alla permutationer av indexen, men nu inom hakparenteser och med hänsyn till permutationens paritet . Exempel: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ $\operatörsnamn {sgn} \sigma$

A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk })

;

A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m }-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})

Vissa författare föredrar att inte skriva faktorn i formlerna för symmetri och antisymmetri. Du bör vara uppmärksam på detta, eftersom andra formler ändras i enlighet med detta, vilket kan vara förvirrande. ${\frac {1}{k!)}}$

Symmetriserings- och antisymmetriseringsegenskaper

Om den är symmetrisk i så sammanfaller symmetriseringen med avseende på dessa index med och antisymmetriseringen ger en nolltensor. På liknande sätt, när det gäller antisymmetri i vissa index: antisymmetrisering kommer att sammanfalla med , och symmetrisering kommer att ge en nolltensor. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$ $T$ $T$
Om då Här är en symmetrisk , och är den yttre produkten av vektorrum. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\kil$