Symmetrisk relation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 september 2018; kontroller kräver 4 redigeringar .

Inom matematiken kallas en binär relation på en mängd X symmetricif för varje par av element i mängden , uppfyllelsen av relationen innebär att relationen uppfylls . $R$ $(a,b)$ $a\,R\,b$ $b\,R\,a$

Formellt är relationen symmetrisk om . $R$ $\forall a,b\in X,\ a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$

Antisymmetrin i en relation är inte antonymen till en symmetrisk relation. Båda egenskaperna är sanna för vissa relationer samtidigt, och för andra är ingen av dem sanna. Det kan betraktas som en antonym till en asymmetrisk relation , eftersom den enda binära relationen som är både symmetrisk och asymmetrisk är en tom relation.

Exempel

Varje ekvivalensrelation är per definition symmetrisk (liksom reflexiv och transitiv ). Kopplingsrelationen mellan hörn i en graf (oriktad) är också symmetrisk.

Är inte symmetriska (förutom i fallet med identisk falskhet i relationen) ordningsrelationer (både fullständiga och partiella), såväl som sekvensrelationen mellan hörnen i en riktad graf . Jämförbarhetsrelationen för en partiell ordning är emellertid , genom konstruktion, symmetrisk (dock, till skillnad från själva ordningen, inte transitiv).

Den symmetriska kvotmatrisen är symmetrisk med avseende på huvuddiagonalen (sammanfaller med den transponerade). Om det finns ett samband mellan två hörn i en graf av en symmetrisk relation, så finns det också en återkoppling.