Slumpmässigt värde

En slumpvariabel är en variabel vars värden representerar de numeriska resultaten av något slumpmässigt fenomen eller experiment. Det är med andra ord ett numeriskt uttryck för resultatet av en slumpmässig händelse. Slumpvariabeln är ett av sannolikhetsteorins grundläggande begrepp . [1] Det är vanligt att använda den grekiska bokstaven "xi" för att beteckna en slumpvariabel i matematik . Om vi definierar en slumpvariabel mer strikt, så är det en funktion vars värden numeriskt uttrycker resultatet av ett slumpmässigt experiment. Ett av kraven för denna funktion kommer att vara dess mätbarhet , som tjänar till att filtrera bort de fall där värdena för denna funktion är oändligt känsliga för de minsta förändringarna i resultaten av ett slumpmässigt experiment. I många praktiska fall kan man betrakta en stokastisk variabel som en godtycklig funktion från i [2] . $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $y$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\Omega$ $\mathbb {R}$

Som en funktion är en slumpvariabel inte sannolikheten för att händelsen ska inträffa , utan returnerar ett numeriskt uttryck för resultatet . Viktiga egenskaper hos slumpvariabler är den matematiska förväntan och varians [3] . $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega$

Ett exempel på objekt som kräver användning av slumpvariabler för att representera deras tillstånd är mikroskopiska objekt som beskrivs av kvantmekanik . Slumpvariabler beskriver händelserna med överföring av ärftliga egenskaper från föräldraorganismer till deras avkomlingar (se Mendels lagar ). Slumpmässiga händelser inkluderar radioaktivt sönderfall av atomkärnor. [ett]

Det finns ett antal problem med matematisk analys och talteori , för vilka det är tillrådligt att betrakta funktionerna som är involverade i deras formuleringar som slumpvariabler definierade på lämpliga sannolikhetsutrymmen [4] .

Historik

Rollen av en slumpvariabel, som ett av sannolikhetsteorins grundläggande begrepp, erkändes först tydligt av P. L. Chebyshev , som underbyggde den för närvarande allmänt accepterade synen på detta begrepp (1867) [5] . Förståelsen av en slumpvariabel som ett specialfall av det allmänna begreppet en funktion kom långt senare, under den första tredjedelen av 1900-talet. För första gången utvecklades en fullständigt formaliserad representation av sannolikhetsteorins grunder baserad på måttteorin av A. N. Kolmogorov (1933) [6] , varefter det blev klart att en stokastisk variabel är en mätbar funktion definierad på ett sannolikhetsutrymme . I utbildningslitteraturen genomfördes denna synpunkt först konsekvent av W. Feller (se förordet till [7] , där framställningen bygger på begreppet elementära händelsers rum och det framhålls att endast i detta fall representationen av en slumpvariabel blir meningsfull).

Definition

Den formella matematiska definitionen är som följer: låt vara ett sannolikhetsutrymme , då är en slumpvariabel en funktion mätbar med avseende på och Borel σ-algebra på . Det probabilistiska beteendet hos en separat (oberoende av andra) slumpvariabel beskrivs fullständigt av dess fördelning . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R}$

En stokastisk variabel kan definieras på ett annat ekvivalent sätt [8] . En funktion kallas en slumpvariabel om för några reella tal och mängden händelser , sådana som , tillhör . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $a$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega )\in (a,b)$ ${\mathcal {F}}$

Quest metoder

Du kan ställa in en slumpvariabel, som beskriver alla dess sannolikhetsegenskaper som en separat slumpvariabel, med hjälp av fördelningsfunktionen , sannolikhetstäthet och karakteristisk funktion , för att bestämma sannolikheterna för dess möjliga värden. Fördelningsfunktionen är lika med sannolikheten att värdet av en slumpvariabel är mindre än ett reellt tal . Det följer av denna definition att sannolikheten att värdet av en stokastisk variabel faller in i intervallet [a, b) är lika med . Fördelen med att använda fördelningsfunktionen är att det med dess hjälp är möjligt att uppnå en enhetlig matematisk beskrivning av diskreta, kontinuerliga och diskret-kontinuerliga stokastiska variabler. Det finns dock olika slumpvariabler som har samma fördelningsfunktioner. Till exempel, om en slumpvariabel tar värdena +1 och −1 med samma sannolikhet 1/2, så beskrivs slumpvariablerna och av samma fördelningsfunktion F(x). $F(x)$ $x$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ $\xi ^{3}$

Ett annat sätt att specificera en slumpvariabel är den funktionella transformationen av en slumpvariabel . Om är en Borel-funktion är det också en slumpvariabel. Till exempel, om är en normal normal slumpvariabel , då har den slumpmässiga variabeln en chi-kvadratfördelning med en frihetsgrad. Många distributioner, inklusive Fishers distribution , Students distribution är fördelningar av funktionella transformationer av normala slumpvariabler. $\xi$ $f(x)$ $\eta =f(\xi)$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Om en slumpvariabel är diskret, bestäms en fullständig och entydig matematisk beskrivning av dess fördelning genom att ange sannolikhetsfunktionen för alla möjliga värden för denna slumpmässiga variabel. Som ett exempel, betrakta binomial- och Poisson-fördelningslagarna. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

Binomialfördelningslagen beskriver slumpvariabler vars värden bestämmer antalet "framgångar" och "misslyckanden" när experimentet upprepas gånger. I varje experiment kan "framgång" inträffa med sannolikheten , "misslyckande" - med sannolikheten . Distributionslagen i detta fall bestäms av Bernoullis formel : $N$ $sid$ $q=1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Om produkten förblir konstant när den närmar sig oändligheten konvergerar den binomialfördelningslagen till Poissons lag , som beskrivs med följande formel: $n$ $np$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

var

symbolen " " står för factorial , $!$
$e=2.7182818284\ldots$ är basen för den naturliga logaritmen .

Numeriska egenskaper hos slumpvariabler

Den matematiska förväntan eller medelvärdet för en slumpvariabel i ett linjärt normerat utrymme X på utrymmet för elementära händelser kallas integralen $\xi =\xi (\omega )$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(förutsatt att funktionen är integrerbar). $\xi =\xi (\omega )$

Variansen för en slumpvariabel är en kvantitet lika med: $\xi$

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

I statistiken betecknas variansen ofta med eller . Värde lika med ${\displaystyle \sigma _{\xi }^{2))$ $\sigma ^{2}$ $\sigma$

\sigma ={\sqrt {\operatörsnamn {D} \xi }}

kallas standardavvikelse , standardavvikelse eller standardspridning.

Slumpvariablernas kovarians är följande variabel : $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

\operatörsnamn {E} (\xi -\operatörsnamn {E} {\xi })({\eta }-\operatörsnamn {E} {\eta })

(det antas att de matematiska förväntningarna är definierade).

Om = 0, då kallas slumpvariabler och okorrelerade . Oberoende slumpvariabler är alltid okorrelerade, men det omvända är inte sant [9] . $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

Funktioner av slumpvariabler

Om är en Borel-funktion och är en slumpvariabel, så är dess funktionella transformation också en slumpvariabel. Till exempel, om är en normal normal slumpvariabel har den slumpmässiga variabeln en chi-kvadratfördelning med en frihetsgrad. Många distributioner, inklusive Fisher -fördelningen och Student's distribution , är fördelningar av funktionella transformationer av normala slumpvariabler. $f(x)$ $\xi$ $\eta =f(\xi)$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Om och med gemensam distribution , och är någon Borel-funktion, då för [ 10] : $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta}(x,y)$ $\phi =\phi (x,y)$ $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta}(x,y )~.

Om , och är oberoende, då . Genom att tillämpa Fubinis sats får vi: $\phi (x,y)=x+y$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi}(y)F_{\eta }(y)$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(zx)dF_{\xi }(x)

och liknande:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

Om och distributionsfunktioner, då funktionen $F$ $G$

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(zx)dG(x)

kallas en faltning och och betecknar . Den karakteristiska funktionen av summan av oberoende slumpvariabler och är Fouriertransformen av faltningen av fördelningsfunktionerna och och är lika med produkten av de karakteristiska funktionerna och : $F$ $G$ $F*G$
$\zeta =\xi +\eta$ $\xi$ $\eta$ $F*G$ $F$ $G$ $\xi$ $\eta$

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi}(u)\phi _{\eta}(u)~.

Exempel

Diskret slumpvariabel

Exempel på en diskret slumpmässig variabel är hastighetsmätaravläsningar eller temperaturmätningar vid specifika tidpunkter [11] .

Myntkastning

Alla möjliga resultat av en myntkastning kan beskrivas av utrymmet för elementära händelser huvuden, svansar eller kortfattat . Låt den slumpmässiga variabeln vara lika med utdelningen som ett resultat av att kasta ett mynt. Låt utdelningen vara 10 rubel varje gång myntet kommer upp i huvudet, och -33 rubel om det kommer upp i svansar. Matematiskt kan denna utdelningsfunktion representeras enligt följande: $\Omega =\{$ $\}$ ${\displaystyle \{op,pe\))$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\text{ om }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Om myntet är perfekt kommer vinsten att ha en sannolikhet som anges som: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=-33,\end{cases}}

var är sannolikheten att vinna rubel i en myntkastning.

P(\xi =y)

y

Kasta tärningar

En slumpvariabel kan också användas för att beskriva processen att kasta tärningar, samt för att beräkna sannolikheten för ett visst utfall av sådana kast. Ett av de klassiska exemplen på detta experiment använder två tärningar och , som var och en kan ta värden från mängden {1, 2, 3, 4, 5, 6} (antalet poäng på tärningarnas sidor). Det totala antalet poäng som tappas på tärningarna kommer att vara värdet på vår slumpvariabel , som ges av funktionen: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\displaystyle \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2))

och (om tärningarna är perfekta) ges sannolikhetsfunktionen för av: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ för }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, var är summan av poäng på de rullade tärningarna.

S

En kortlek

Låt försöksledaren slumpmässigt dra ett av korten i kortleken . Då kommer det att representera ett av de dragna korten; här är inte ett nummer, utan en karta - ett fysiskt föremål, vars namn betecknas med symbolen . Då kommer funktionen , som tar objektets "namn" som ett argument, att returnera numret som vi kommer att associera kartan med . Låt försöksledaren rita klubbkungen i vårt fall, det vill säga, efter att ha ersatt detta resultat i funktionen får vi redan ett nummer, till exempel 13. Detta nummer är inte sannolikheten att dra kungen från kortleken eller något annat kort. Detta nummer är resultatet av överföringen av ett objekt från den fysiska världen till ett objekt i den matematiska världen, för med talet 13 är det redan möjligt att utföra matematiska operationer, medan dessa operationer inte kunde utföras med objektet. $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\omega$ ${\displaystyle \omega =K_{\clubsuit ))$ $\xi (K_{\clubsuit })$ ${\displaystyle K_{\clubsuit ))$

Absolut kontinuerlig slumpvariabel

En annan klass av slumpvariabler är de för vilka det finns en icke-negativ funktion som uppfyller likheten för någon . Slumpvariabler som uppfyller denna egenskap kallas absolut kontinuerliga, och funktionen kallas sannolikhetsfördelningstätheten. $p(x)$ $x$ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

Antalet möjliga värden för en absolut kontinuerlig slumpvariabel är oändligt. Ett exempel på en absolut kontinuerlig slumpvariabel: mätning av rörelsehastigheten för någon typ av transport eller temperatur under ett specifikt tidsintervall. [elva]

Tillväxt av en förbipasserande

Låt i ett av experimenten det vara nödvändigt att slumpmässigt välja en person (låt oss beteckna det som ) från gruppen av försökspersoner, sedan låta den slumpmässiga variabeln uttrycka tillväxten av den person vi har valt. I det här fallet, ur en matematisk synvinkel, tolkas en slumpmässig variabel som en funktion som omvandlar varje ämne till ett tal - hans tillväxt . För att beräkna sannolikheten för att en persons längd kommer att falla mellan 180 cm och 190 cm, eller sannolikheten att hans längd blir över 150 cm, behöver du känna till sannolikhetsfördelningen , som tillsammans med och låter dig beräkna sannolikheterna av vissa resultat av slumpmässiga experiment. $\omega$ $\xi$ $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

De enklaste generaliseringarna

En slumpvariabel, generellt sett, kan ta värden i vilket mätbart utrymme som helst. Då kallas det ofta en slumpmässig vektor eller ett slumpmässigt element. Till exempel,

En mätbar funktion kallas en -dimensionell slumpmässig vektor (med avseende på Borel -algebra på ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\sigma$ $\mathbb {R} ^{n}$
En mätbar funktion kallas en -dimensionell komplex slumpmässig vektor (även med avseende på motsvarande Borel -algebra ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $n$ $\sigma$
En mätbar funktion som mappar ett sannolikhetsutrymme till utrymmet av delmängder av någon (ändlig) mängd kallas en (ändlig) slumpmässig mängd.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. Slumpvariabel // Mathematical Encyclopedia / Ed. Vinogradova I. M. - M .: Soviet Encyclopedia, 1985.-V.5.- Pp. 9.- 623 sid.
↑ Chernova, 2007 , sid. 49-50.
↑ Slumpvariabel - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
↑ Katz M., Statistiskt oberoende i sannolikhetsteori, analys och talteori, övers. från engelska, M., 1963.
↑ Chebyshev P. L., Om medelvärden, i boken: Komplett. Sobr. Soch., v. 2, M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., Grundläggande begrepp för sannolikhetsteori, 2:a upplagan, M., 1974
↑ V. Feller, Introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpningar, övers. från engelska, 2:a uppl., vol. 1, M., 1967
↑ Chernova N. I. Kapitel 6. Slumpvariabler och deras fördelningar § 1. Slumpvariabler // Sannolikhetsteori . - Handledning. - Novosibirsk: Novosibirsk State University. un-t, 2007. - 160 sid.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Motexempel i sannolikhet och statistik. - Belmont, Kalifornien: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 sid. — ISBN 0534055680 .
↑ Shiryaev A.N. Sannolikhet. — M:. : Vetenskapen. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1989. - 640 sid. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ 1 2 TSU utbildningsportal . edu.tltsu.ru . Tillträdesdatum: 26 juni 2020. (obestämd)

Litteratur

Gnedenko B. V. Sannolikhetslära kurs. - 8:e uppl. Lägg till. och korrekt. - M. : Redaktionell URSS, 2005. - 448 sid. — ISBN 5-354-01091-8 .
Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. Prokhorov Yu. V .. - 2:a uppl. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1998. - 847 s.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Statistisk analys och syntes av radiotekniska enheter och system. — Lärobok för universitet. - M . : Radio och kommunikation, 1991. - 608 sid. — ISBN 5-256-00789-0 .
Chernova N.I. Sannolikhetsteori . - Handledning. - Novosibirsk: Novosibirsk State University. un-t, 2007. - 160 sid.

Länkar

Multivariata slumpvariabler