Slumpmässig uppsättning

En slumpmässig uppsättning är en mätbar avbildning av en familj av elementära utfall av ett godtyckligt sannolikhetsutrymme till något rum , vars element är mängder . $K$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),\mathbf {P} )$ ${\mathcal {M}}$

Det finns olika definitioner av begreppet. Slumpmässig uppsättning beroende på strukturen av värdeuppsättningen. Således, om är ett topologiskt utrymme , så förstås mätbarhet i Borel-bemärkelsen. De vanligaste fallen är: ${\mathcal {M}}$

${\mathcal {M}}={\mathcal {F}}$ - det topologiska rummet för slutna mängder (av något topologiskt utrymme som kallas bas), då är den slumpmässiga mängden en slumpmässig sluten mängd; $S$
${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}$ är det topologiska rummet för öppna uppsättningar, då S.m. det finns en slumpmässig öppen uppsättning;
${\mathcal {M}}={\mathcal {H}}$ — Topologiskt utrymme av par (det inre av en uppsättning, stängningen av en uppsättning). här kommer man till de så kallade slumpmässiga fysiskt olika uppsättningarna [1]
${\mathcal {M}}={\mathcal {K}}$ är ett topologiskt utrymme av kompakta mängder, i detta fall erhålls en slumpmässig kompakt mängd ;
${\mathcal {M}}={\rm {conv}}({\mathcal {K}})$ är ett delrum av konvexa element , vilket ger en slumpmässig konvex uppsättning. $\mathcal{K}$

För att specificera fördelningen av en slumpmässig sluten uppsättning används en medföljande funktion, i termer av vilken det är bekvämt att beskriva många egenskaper hos en slumpmässig uppsättning. Teorin om slumpmässiga öppna, kompakta och fysiskt distinkta mängder erhålls från teorin om slumpmässiga slutna mängder med hjälp av standardomformuleringar.

För att lösa vissa problem räcker det med att använda värdena för den medföljande funktionalen på finita mängder - den så kallade punktfördelningslagen för en slumpmängd, som i det allmänna fallet inte entydigt bestämmer fördelningen av en slumpmängd. Det finns dock en klass av separerbara slumpmässiga mängder för vilka punktlagen helt definierar fördelningen: detta är en slumpmässig mängd med egenskapen , där är räknebar och överallt tät i . $K$ $K={\overline {K\cap D))$ $D$ $S$

Viktiga specialklasser av slumpmässiga mängder är slumpmässiga oändligt delbara mängder, slumpmässiga gaussiska mängder, slumpmässiga isotropa mängder, slumpmässiga semi-Markov-mängder, slumpmässiga stationära mängder, slumpmässiga stabila mängder.

Det finns andra sätt att definiera en slumpmässig uppsättning som inte kräver en preliminär (grundläggande) topologi; den viktigaste av dem: Kendalls metod, baserad på konceptet "fällor" [2] ; metod för reduktion till slumpmässiga funktioner (till exempel stödfunktioner vid konvexitet av uppsättningar); en metod som använder metriken Kolmogorov-Hamming (ett mått på den symmetriska skillnaden mellan mängder).

De mest utvecklade delarna av teorin om S.m. är gränssatser för slumpmässiga mängder, samt olika definitioner och metoder för att beräkna numeriska egenskaper och mängdkarakteristika för S.m.-fördelningar. (Genomsnittsmängder, Set-mean, Set-median, Set-expectancy, etc.).

Anteckningar

↑ Matheron, J. (1978) Slumpmängder och integralgeometri, övers. från engelska, M.: Mir.
↑ Kendall DG (1974) i Stokastisk geometri, NY

Litteratur

Choquet G. (1953-54) "Ann.Inst.Fourier", vol. 5, sid. 131-295;
Lyashenko N. N. (1999) Slumpmässig uppsättning. Sannolikhet och matematisk statistik. Encyklopedi. Ch. ed. Yu. V. Prokhorov. M.: BRE.