Slumpmässigt kompakt set

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 mars 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

En slumpmässig kompakt mängd är en slumpmässig variabel med värden i kompakta mängder . Slumpmässiga kompakta uppsättningar används i studien av atttraktorer av slumpmässiga dynamiska system .

Definition

Låt vara mängden av alla kompakta delmängder av . På kan man definiera Hausdorff-metriken : $\mathcal{K}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathcal{K}$ $h$

h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2 }\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.

Med en sådan måttenhet blir uppsättningen ett fullständigt separerbart metriskt utrymme . Motsvarande öppna delmängder genererar uppsättningens Borel -algebra . $h$ $\mathcal{K}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}_{K}$ $\mathcal{K}$

Då är en slumpmässig kompakt mängd en mätbar funktion från något sannolikhetsutrymme till ett mätbart utrymme . Slumpmässiga kompakta mängder i denna mening är desamma som Matherons slumpmässiga slutna mängder [1] . Därför ges deras fördelning av sannolikheterna $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ $({\mathcal {K}),{\mathfrak {B}}_{K})$

\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K)).

Fördelningen av en slumpmässig kompakt konvex mängd ges också av systemet med alla inklusionssannolikheter $\mathbf {P} (X\delmängd K).$

Relaterade definitioner

För , är sannolikheten definierad som uppfyller relationen . Då kan täckningsfunktionen specificeras med formeln Täckningsfunktionen tar värden mellan och och kan tolkas som förväntan på indikatorfunktionen $K=\{x\}$ $\mathbf {P} (x\in X)$ $\mathbf {P} (x\i X)=1-\mathbf {P} (x\inte \i X).$ $p_{X}$ $p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$ $0$ $ett$ $\mathbf {1} _{X}(x):$ $p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

Mängden av alla c kallas basen $b_{X}$ $x\in \mathbb {R} ^{2}$ $p_{X}(x)>0$ $X.$

Uppsättningen av alla med kallas kärnan , uppsättningen av fixpunkter eller det väsentliga minimumet . Om är en sekvens av oberoende identiskt fördelade slumpmässiga kompakta mängder, då nästan säkert och konvergerar nästan säkert till $k_{X}$ $x\in \mathbb {R} ^{2}$ $p_{X}(x)=1$ $e(X)$ $X_{1},X_{2},\ldots$ $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i))$ $e(X).$

Anteckningar

↑ Matheron, J. (1978) Slumpmängder och integralgeometri, övers. från engelska, M.: Mir.

Litteratur

Matheron, J. (1978) Slumpmängder och integralgeometri, trans. från engelska, M.: Mir.
Stoyan D. och H. Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.