Frihetsgrader (sannolikhetsteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 oktober 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Antalet frihetsgrader är antalet värden i den slutliga statistiska beräkningen som kan variera. Med andra ord visar antalet frihetsgrader dimensionen av vektorn av slumpvariabler, antalet "fria" variabler som behövs för att helt definiera vektorn.

Antalet frihetsgrader kan inte bara vara ett naturligt tal utan också vilket reellt tal som helst, även om standardtabeller beräknar p-värdet för de vanligaste fördelningarna endast för ett naturligt antal frihetsgrader.

Frihetsgrader för distributioner

Chi-kvadrat

Om de slumpmässiga variablerna är oberoende och alla har en standardnormalfördelning ( ) , så sägs den slumpmässiga variabeln , som är summan av kvadraterna av standardnormalvariablerna i antalet bitar, ha en chi-kvadratfördelning med frihetsgrader ( ): $Z_{1};\ldots ;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $n$ $n$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\summa \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Elevens t - fördelning

Om den slumpmässiga variabeln har en standardnormalfördelning ( ), den slumpmässiga variabeln har en chi-kvadratfördelning med frihetsgrader ( ) och och är oberoende (deras korrelation är noll), då har den slumpmässiga variabeln en Students fördelning med frihetsgrader ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $n$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $X$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $n$ $t_{n}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}}\sim t_ {n}$

Fisher-Snedecor distribution

Om en stokastisk variabel har en chi-kvadratfördelning med frihetsgrader och en stokastisk variabel har en chi-kvadratfördelning med frihetsgrader, så har den stokastiska variabeln en Fisher–Snedekor-fördelning med och frihetsgrader ( ): $X_{1}$ $n$ $X_{2}$ $m$ $F={\frac {X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $n$ $m$ $t_{n}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Om , då . $m\högerpil\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\högerpil \chi _{n}^ {2}$
Om vi kvadrerar en slumpvariabel som har en Students fördelning med frihetsgrader, kommer den att ha en Fisher-Snedekor-fördelning med och frihetsgrader: $m$ $ett$ $m$

$(t_{m})^{2}=\left({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} }{m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr )}^{2)){\ vänster({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\right)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\mathrm {F}}_{{1;m}}$

Sannolikhetsteori

Låta vara en endimensionell slumpvariabel . Då kommer följande påståenden om antalet frihetsgrader att vara sanna : $X_{i}$

En stokastisk variabel fördelas enligt lagen med frihetsgrader (i detta fall ofta med hjälp av urvalsvarians ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\hat \sigma }^{2}$
Baserat på ovanstående notation kan man hävda att den slumpmässiga variabeln har en Students fördelning med frihetsgrader ( ) . ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ ${\displaystyle t_{n-1))$
Slumpvariabeln fördelas enligt lagen med frihetsgrader. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma }^{2}}{n}}}}}}$ $\chi ^{2}$ $n$
Slumpvariabeln fördelas enligt standardnormallagen ( ), där den sanna variansen av slumpvariabeln är . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}}(0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $X$

Att ersätta en slumpvariabel med dess sanna matematiska förväntan ger en ökning med en frihetsgrad av följande anledning. Betrakta en slumpvariabel . Nästa, . Därför finns det bitar av beroende slumpvariabler. Därför är kvantitetsbitarna oberoende, därför finns det en frihetsgrad mindre i formeln med i täljaren än i formeln med sann matematisk förväntan. ${\bar X}(X_{1};\ldots ;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\summa \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}-\summa \limits _{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $n$ $n-1$ $\bar X$

Regressionsanalys

I regressionsanalys , med hjälp av minsta kvadraters metod , jämförs observationerna med de beräknade värdena (erhållna från regressionsekvationen). Om är det aritmetiska medelvärdet av alla observationer, så sker , i enlighet med Pythagoras multivariatsats, likheten: $Y_{i}$ ${\hat Y}_{i}$ ${\bar Y}$

$\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\underbrace {\sum \limits _{i}({\hat Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

Samtidigt fördelas (Total summa av kvadrater) som med frihetsgrader, (uppskattad summa av kvadrater; inte att förväxla med fel!) fördelas som med en frihetsgrad, (restsumma av kvadrater; inte att vara förväxlas med regression!) fördelas som med frihetsgrader . $TSS$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi ^{2}$ $RSS$ $\chi ^{2}$ $(n-2)$