Subharmonisk funktion

Subharmoniska och överharmoniska funktioner är speciella klasser av funktioner som innehåller både specialfall och klassen av harmoniska funktioner .

Definition

En kontinuerlig funktion , definierad på punkter i ett godtyckligt dimensionellt område av rymden , kallas subharmonic om, oavsett bollen centrerad vid punkten , som hör ihop med dess gräns till regionen , ojämlikheten är sann , och superharmonic om . [ett] $U(M)$ $M(x_{1},\;\ldots ,\;x_{k})$ $k$ $G$ $E_k$ $F$ $M_{0}$ $G$ $U(M_{0})\leqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q)))\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\ sigma$ $U(M_{0})\geqslant {\frac {1}{\sigma (\gamma (Q)))\int \limits _{\gamma (Q)}U(M)\,d\ sigma$

Grundläggande egenskaper

$f$ är en övertonsfunktion endast om den samtidigt är under- och överharmonisk.
Om är en öppen uppsättning och ( är klassen av två gånger kontinuerligt differentierbara funktioner), då för subharmonicitet är det nödvändigt och tillräckligt att villkoren ( är Laplace-operatorn ). $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ $f\in {\mathcal {C}}^{2}(G)$ ${\mathcal {C}}^{2}(G)$ $G$ $f$ $G$ $\Delta f\geqslant 0$ $\Delta$
En subharmonisk funktion kan inte nå sitt maximum inom sitt subharmonicitetsområde (jämför med maximumprincipen för analytiska funktioner). Om maximivärdet ändå uppnås är funktionen identiskt lika med en konstant.

Egenskaper

För varje analytisk funktion definierad på en öppen uppsättning av det komplexa planet, funktionen $F Z)$ $\varphi (z)=\log |f(z)|$

är subharmonisk.

Se även

plurisubharmonisk funktion

Anteckningar

↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Introduktion till teorin om harmoniska funktioner. — M.: Nauka, 1968.

Litteratur

Hayman W. , Kennedy P. Subharmoniska funktioner. — M.: Mir, 1980. — 304 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1984. - 432 sid.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. I 2 volymer. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1976. - 720 sid.