Riemann summa

Riemann summan är en av mekanismerna för att bestämma integralen genom en summa av formen . Används i definitionen av Riemann-integralen . Uppkallad efter upptäckaren Bernhard Riemann . $\summa f(x)\Delta x$

Definition

Låta vara en funktion definierad på en delmängd på den verkliga linjen . är ett slutet intervall som ingår i . är en partition där . $f:D\rightarrow R$ $D$ $R$ $I=[a,b]$ $D$ $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ $jag$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$

Riemann summan av en delad funktion definieras enligt följande: $f$ $P$

S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})

var . Valet i detta intervall är godtyckligt. Om för alla , då kallas den vänstra Riemann summan . Om , då kallas den rätta Riemann summan . Om , då kallas Riemanns medelsumma . Medelvärdet för vänster och höger Riemanns summa kallas trapetssumman . ${\displaystyle x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i))$ $x_{i}^{*}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1))$ $i$ $S$ ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i))$ $S$ $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$ $S$

Om Riemann-summan representeras som:

S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})

var är den exakta övre gränsen för mängden på intervallet då kallas den övre Riemann summan . På samma sätt, om är den exakta nedre gränsen för det inställda intervallet , då kallas det den nedre Riemannsumman . $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$ $v_{i}$ $f$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S$

Varje Riemann-summa med en given partition (när man väljer valfritt värde från intervallet ) ligger mellan de nedre och övre Riemann-summorna. $x_{i}^{*}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

Om det för en funktion och ett segment finns en gräns för Riemann-summor när partitionssteget tenderar till noll (oavsett val av ), så kallas denna gräns för Riemann-integralen av funktionen på segmentet och betecknas med . $f$ $[a;b]$ $x_{i}^{*}$ $f$ $[a;b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Litteratur

V.A. Ilyin , V.A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Matematisk analys. Inledande kurs. - 2:a, reviderad. - Moscow Universitys förlag, 1985. - T. 1. - 660 sid.