Konvergens nästan överallt

En sekvens av funktioner konvergerar nästan överallt till en gränsfunktion om den uppsättning punkter för vilka det inte finns någon konvergens har nollmått [1] .

Definition

Låta vara ett mellanslag med mått och . De säger att det konvergerar nästan överallt, och de skriver - a.e. om [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\till f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Sannolikhetsterminologi

Om det finns ett sannolikhetsutrymme , och är slumpvariabler sådana att $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ $Y_{n},Y$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\ höger)=1

då säger vi att sekvensen konvergerar nästan säkert till [2] . $\{Y_{n}\}$ $Y$

Konvergensegenskaper a.e.

Punktvis konvergens innebär uppenbarligen konvergens nästan överallt.
Låt , var , och konvergera nästan överallt till . Låt också det finnas en funktion sådan att för alla och nästan alla (summbar majorant ). Sedan och in . Utan ett a priori antagande om existensen av en integrerbar majorant, innebär konvergens nästan överallt (och till och med överallt) inte konvergens i . Till exempel konvergerar en sekvens av funktioner till 0 nästan överallt på men konvergerar inte på . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $f$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $n$ $x\i X$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\till f$ $L^{p}$ $L^{p}$ $n\chi _{[0,1/n]}$ $[0,1]$ $L^{1}[0,1]$
Konvergens nästan överallt innebär konvergens i mått om måttet är ändligt. För utrymmen med oändligt mått är detta inte sant [3] .

Se även

Nästan överallt

Anteckningar

↑ 1 2 Dyachenko, Ulyanov, 1998 , sid. 55 §13. konvergens nästan överallt.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , sid. 313 Konvergens är nästan säker.
↑ Dyachenko, Ulyanov, 1998 , sid. 57 Sats 13.2 (Riesz-exempel).

Litteratur

Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Mått och integral . - M . : "Factorial", 1998.
Mathematical Encyclopedia / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Slumpvariabel - Cell).