Konvergens i mått
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från
versionen som granskades den 28 september 2021; verifiering kräver
1 redigering .
Konvergens i mått (i sannolikhet) i funktionsanalys , sannolikhetsteori och relaterade discipliner är en slags konvergens av mätbara funktioner ( slumpvariabler ) som ges på ett utrymme med ett mått ( sannolikhetsutrymme ).
Definition
Låt vara ett mellanslag med mått. Låt vara mätbara funktioner på detta utrymme. En sekvens av funktioner sägs konvergera i mått till en funktion if
.
Beteckning: .
När det gäller sannolikhetsteori, om ett sannolikhetsutrymme ges med slumpvariabler definierade på det , så säger de att det konvergerar i sannolikhet till om
.
Beteckning: .
Notera
Definitionen av konvergens i mått (i sannolikhet) kan generaliseras till mappningar ( slumpmässiga element ) som tar värden i ett godtyckligt metriskt utrymme .
Egenskaper för konvergens i mått
- Sats (Riess F.): Om en sekvens av funktioner konvergerar i mått till , då har den en undersekvens som konvergerar till - nästan överallt .
- Sats (kriterium för konvergens i mått): Om måttet är ändligt, så konvergerar en sekvens av funktioner i mått till om och endast om det för någon undersekvens av sekvensen finns en undersekvens som konvergerar till nästan överallt.
- Om sekvensen av funktioner konvergerar i mått till , och , där , då , och konvergerar till i .
- Om i ett utrymme med ett ändligt mått en sekvens av funktioner konvergerar -nästan överallt till , då konvergerar den också i mått. Det omvända är i allmänhet inte sant.
- Om en sekvens av funktioner konvergerar i k , så konvergerar den också i mått. Det omvända är i allmänhet inte sant.
- Om en sekvens av slumpvariabler konvergerar i sannolikhet till , då konvergerar den till och i distribution .
- Om en sekvens av slumpvariabler konvergerar i sannolikhet till , då för varje kontinuerlig funktion är det sant att . Detta påstående är sant för varje kontinuerlig funktion av flera variabler, i synnerhet