Slumpmässigt element

Ett slumpelement är en generalisering av begreppet en slumpvariabel . Termen introducerades uppenbarligen av M. Frechet (1948), som noterade att "utvecklingen av sannolikhetsteorin och utvidgningen av omfattningen av dess tillämpningar ledde till behovet av att flytta från system där (slumpmässiga) resultat av erfarenheter kan vara beskrivs av ett tal eller en ändlig uppsättning siffror, till scheman där erfarenhetsresultaten till exempel är vektorer , funktioner , processer , fält , serier , transformationer, samt mängder eller mängder av mängder .

Definition

Låt vara en probabilist och vara ett mätbart utrymme . Då kallas den mätbara funktionen för ett slumpelement (med värden i ) eller en -värderad slumpvariabel. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathcal {E))$ $X:(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )\to (E,{\mathcal {E)))$ $E$ $E$

Exempel på slumpmässiga element

Om , var är den reella axeln och är Borel -algebra av dess delmängder, då är definitionen av S.e. sammanfaller med definitionen av en slumpvariabel . $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\sigma$

Definition av S.e. i ett Banach-utrymme liknar definitionen av en slumpvariabel. Låt vara det dubbla mellanrummet av k. En kartläggning av utrymmet för elementära händelser in i kallas ett slumpelement om varje kontinuerlig linjär funktionell visar sig vara en slumpvariabel. På S.e. i ett Banach-utrymme kan de grundläggande begreppen sannolikhetsteorin, såsom karakteristisk funktion , matematisk förväntan , kovarians , etc., utökas. $X$ $B$ $B^{*}$ $B$ $X=X(\omega )$ $\Omega$ $\omega$ $B$ $X^{*}(X(\omega ))$

För S.e. med värden i godtyckliga utrymmen kan vissa grundläggande begrepp inom sannolikhetsteori inte definieras. Till exempel är det omöjligt att definiera det klassiska begreppet matematisk förväntan för SE, vars värdeutrymme inte är linjärt (Slumpmässig ändlig abstrakt uppsättning, slumpmässig uppsättning händelser). I sådana situationer används vanligtvis en eller annan analog av de klassiska begreppen (Mean-dimensional set).

Slumpmässiga element av olika karaktär

Slumpmässigt värde
Diskret slumpvariabel
Kontinuerlig slumpvariabel
Komplex slumpvariabel
Enkel slumpvariabel
slumpmässig vektor
slumpmässig matris
slumpmässig funktion
slumpmässig process
slumpmässigt fält
slumpmässigt mått
slumpmässig uppsättning
Slumpmässigt stängt set
Slumpmässigt kompakt set
Slumpmässig "prick"
Slumpmässig figur
slumpmässig form
Slumpmässig ändlig uppsättning
Slumpmässig ändlig abstrakt uppsättning
Slumpmässig uppsättning händelser

Litteratur

Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215-310.
Shiryaev A. N. (1980) Sannolikhet. - M .: Nauka, 576s.

Se även

Mätbar funktion