Konvergens i Lp

Konvergens i $L^{p}$ funktionell analys , sannolikhetsteori och relaterade discipliner är en typ av konvergens av mätbara funktioner eller slumpvariabler .

Definition

Låt vara ett mellanslag med mått . Då utrymmet för mätbara funktioner så att deras th makt, där , är Lebesgue-integrerbar , är metrisk . Måttet i detta utrymme har formen: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ $sid$ $p\geqslant 1$

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right )^{1/p}

Låt en sekvens ges . Sedan säger vi att denna sekvens konvergerar in i funktionen om den konvergerar i metriken definierad ovan, d.v.s. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $L^{p}$ $f \in L^p$

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0

Skriv: . Ibland använder de också beteckningen – från engelskan. engelsk gräns i medelvärde . $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}_{n\to\infty} f_n(x)$

När det gäller sannolikhetsteori konvergerar en sekvens av slumpvariabler till från samma utrymme if $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ $X$

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0

Skriv: . $X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$

Terminologi

Konvergens i rymden kallas medelkonvergens. $L^1$
Konvergens i rymden kallas rms-konvergens. $L^{2}$

Konvergensegenskaper i $L^{p}$

Det unika med gränsen. Om och , då - nästan överallt ( - nästan säkert ). $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ $f = g$ $\mu$ $\mathbb {P}$

Utrymmet är fullt . Om för , så finns det sådana som . $L^{p}$ $\|f_n-f_m\|_p \till 0$ $\min(n,m) \till \infty$ $f \in L^p$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$

Konvergens i innebär konvergens i mått ( i sannolikhet ). Om , då . $L^{p}$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$