Tau nummer

Tau-tal ( -number , eng. refactorable number ) är ett heltal som är delbart med antalet av dess divisorer , eller, algebraiskt sett, sådan att . De första tau-talen [1] : $\tau$ $n$ $n$ $\tau (n)|n$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 .

Till exempel har 18 sex faktorer (1 och 18, 2 och 9, 3 och 6) och är delbart med 6.

Tau-tal har en asymptotisk densitet på noll. Inga tre på varandra följande heltal kan vara tau-nummer [2] Colton bevisade att inget tau-nummer är perfekt . Ekvationen (där är den största gemensamma divisorn och ) har en lösning endast om är ett tau-tal. $(n,x)=\tau (n)$ $(n,x)$ $n$ $x$ $n$

Flera problem är fortfarande olösta när det gäller tau-nummer:

om det finns godtyckligt stora , för vilka och , och är tau-tal $n$ $n$ $n+1$
om det finns ett tau-tal , följer det att det finns ett sådant som är ett tau-tal och . $n_{0}\equiv a{\pmod {m))$ $n>n_{0}$ $n$ $n\equiv a{\pmod {m))$

Tau-tal definierades först av Curtis Cooper och Robert Kennedy 1990 [3] , som fann att tau-tal har noll asymptotisk densitet. De återupptäcktes senare av Simon Colton med hjälp av ett program han skrev för att uppfinna och testa olika definitioner inom talteori och grafteori [4] . Colton namngav dessa nummer på engelska. refaktorerbar . Även om datorprogram har upptäckt bevis tidigare, var detta första gången som ett program hittade en ny eller tidigare obemärkt idé. Colton bevisade många resultat om tau-tal, vilket visade oändligheten av deras antal och flera villkor för deras fördelning.

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A033950 _
↑ J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results Arkiverad 11 november 2020 på Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 5 (2002), artikel 02.2.8
↑ Cooper, CN och Kennedy, RE Tau-tal, naturlig täthet och Hardy och Wrights sats 437 // Internat. J Math. Matematik. sci. 13, 383-386, 1990
↑ S. Colton, Refactorable Numbers - A Machine Invention Arkiverad 27 juli 2020 på Wayback Machine // Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), artikel 99.1.2