Tensor Darboux

Komponenterna i Darboux-tensorn för en tvådimensionell yta F 2 med Gaussisk krökning K som inte är noll i det euklidiska utrymmet E 3 beräknas med formlerna: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

var är koefficienterna för den andra kvadratiska formen, är den Gaussiska krökningen och och är deras kovariantderivat. $b_{ij}$ $K\neq 0$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

Darboux-tensorn [1] är associerad med den kubiska differentialformen

\Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m} -{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.

Denna form, hänvisad till en kurva på ytan, kallas Darboux-invarianten.

Kurvan, vid varje punkt där Darboux-invarianten är lika med noll, kallas Darboux-linjen [2] .

Den generaliserade hyperyta Darboux-tensorn är en trippel kovarians tredje ordningens symmetrisk tensor definierad på en n-dimensionell hyperyta F n med Gaussisk krökning K som inte är noll i det euklidiska rummet E n+1 [3] . Komponenterna i den generaliserade Darboux-tensorn i hyperytan beräknas med formlerna [4] : ${\displaystyle \Theta _{(n)))$

\Theta _{(n)ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j} K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.

Hyperytan F n i det euklidiska rymden E n+1 , på vilken den generaliserade Darboux-tensorn är definierad och identiskt lika med noll, kallas den generaliserade Darboux-hyperytan i E n+1 .

Anteckningar

↑ Darbouch, G. (1880). Tjur. sci. math.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V. F. (1948). Grunder i ytteorin i tensorpresentation, del 2, M.-L.: OGIZ, 1948, s. 208-233.
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Generaliserade Darboux-ytor i utrymmen med konstant krökning. Saarbrücken, Tyskland: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, s. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Generaliserade Darboux-ytor i utrymmen med konstant krökning. C. 119-130.