Ricci tensor

Ricci-tensoren , uppkallad efter Ricci-Curbastro , specificerar ett av sätten att mäta krökningen av ett grenrör , det vill säga i vilken grad geometrin i ett grenrör skiljer sig från geometrin i ett platt euklidiskt utrymme . Ricci-tensorn, precis som den metriska tensorn , är en symmetrisk bilinjär form på tangentutrymmet av ett Riemann-grenrör . Grovt sett mäter Ricci-tensorn volymdeformationen , det vill säga i vilken grad n -dimensionella regioner i ett n - dimensionellt grenrör skiljer sig från liknande regioner i det euklidiska rymden. Se den geometriska betydelsen av Ricci-tensoren.

Betecknas vanligtvis med eller . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Definition

Låt vara ett n - dimensionellt Riemann-grenrör , och låt vara tangentrummet till M i punkten p . För vilket par av tangentvektorer som helst vid p , mappar Ricci-tensorn per definition till spåret av en linjär automorfism som ges av Riemann-kurvaturtensorn R : $(M,g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}}(\xi ,\eta )$ $(\xi ,\eta )$ $T_{p}M\till T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Om lokala koordinater anges på grenröret, kan Ricci-tensorn utökas till komponenter:

\operatörsnamn {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

var är spåret av Riemann-tensorn i koordinatrepresentationen. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Geometrisk känsla

I en grannskap av någon punkt p i en Riemannmanifold , kan man alltid definiera speciella lokala koordinater, de så kallade normala geodetiska koordinaterna , där geodesiken från punkten p sammanfaller med linjerna som går genom origo. Vid själva punkten p är den metriska tensorn lika med metriken för det euklidiska rummet (eller Minkowski-metriken i fallet med ett pseudo-riemannskt grenrör ). $(M,g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

I dessa speciella koordinater expanderar volymformen till en Taylor-serie runt p :

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Big ]}d\mu _{\text{Euclid))

Således, om Ricci-kurvaturen är positiv i vektorns riktning , kommer den smala konen av geodetik som utgår från punkten p i riktningen att ha en mindre volym än samma kon i det euklidiska rymden. På liknande sätt, om Ricci-kurvaturen är negativ, kommer den smala konen av geodetik i vektorns riktning att ha en större volym än den euklidiska. ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Ricci krökning och geometri i allmänhet

Låt det finnas en komplett -dimensionell Riemann-grenrör med $M$ $n$ $\operatörsnamn {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Biskop-Gromov ojämlikhet . Låt , beteckna med volymen av en boll med radie centrerad på , beteckna med volymen av en boll med radie i dimensionellt utrymme med konstant krökning . Sen relationen $p\in M$ $v_{p}(r)$ $r$ $sid$ ${\tilde v}(r)$ $r$ $n$ $\kappa$ ${\frac {v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

är en icke-ökande funktion av .

r

Meyers teorem
Det följer av Bochner-identiteten för 1-former att om då egenvärdena för Laplacian inte är mindre än de för den enhetsdimensionella sfären. $\kappa =1$ $M$ $n$

Tillämpningar av Ricci-tensorn

Ricci-kurvaturtensorn i allmän relativitet fungerar som en nyckelkomponent i Einsteins ekvationer .

Ricci-kurvaturen förekommer också i Ricci-flödesekvationen , där den tidsberoende metriken deformeras i proportion till minus-Ricci-kurvaturen.

Ricci tensor

Definition

Geometrisk känsla

Ricci krökning och geometri i allmänhet

Tillämpningar av Ricci-tensorn

Se även