Alaoglus teorem
Alaoglus teorem är ett teorem för funktionell analys, ett av de viktigaste resultaten på svag topologi .
Det finner tillämpning i fysiken, när man beskriver uppsättningen av tillstånd i algebra av observerbara, nämligen att vilket tillstånd som helst kan skrivas som en konvex linjär kombination av så kallade rena tillstånd.
Vanligtvis i beviset identifierar den enhetskulan med den svaga* topologin med en sluten delmängd av produkten av kompakta uppsättningar med produkttopologin . Som en konsekvens av Tikhonovs teorem är denna produkt, och därmed enhetskulan inuti den, kompakt.
Formulering
Den slutna enhetskulan i det dubbla utrymmet i ett normerat vektorrum är kompakt i den svaga* topologin .
Historik
Enligt Pitch finns det minst 12 matematiker som kan göra anspråk på denna sats eller dess viktiga föregångare [1]
- År 1912 bevisade Edward Helly att enhetskulan i ett kontinuerligt dubbelrum är uträkneligt kompakt i den svaga* topologin [2] .
- 1932 bevisade Stefan Banach att den slutna enhetskulan i det kontinuerliga dubbla utrymmet i varje separerbart normerat utrymme är sekventiellt svag* kompakt [2] .
- Ett bevis för det allmänna fallet publicerades 1940 av Leonidas Alaoglu .
![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
Anteckningar
- ↑ Narici, Beckenstein, 2011 , s. 235-240.
- ↑ 1 2 Narici, Beckenstein, 2011 , s. 225-273.
Litteratur
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topologiska vektorutrymmen. Ren och tillämpad matematik (andra upplagan) (engelska) . - Boca Raton: CRC Press, 2011. - ISBN 978-1584888666 .