Bezouts teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 oktober 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Bezouts sats säger att resten av att dividera ett polynom med ett binomium är. $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

Det antas att koefficienterna för ett polynom finns i någon kommutativ ring med enhet (till exempel inom området reella eller komplexa tal ).

Bevis

Dividera polynomet med binomet med resten : $P(x)$ $xa$

P(x)=(xa)Q(x)+R(x),

var är resten. Eftersom , då är ett polynom av grad inte högre än 0, det vill säga en konstant, betecknar vi det med . Ersätter , eftersom vi har . $R(x)$ $\deg R(x)<\deg(xa)=1$ $R(x)$ $r$ $x=a$ $(aa)Q(a)=0$ $P(a)=R(x)=r$

Konsekvenser

Ett tal är en rot av ett polynom om och endast om det delas utan rest med ett binomial (därav, i synnerhet, följer det att polynomets rötter är identisk med rötter i motsvarande ekvation ). $a$ $p(x)$ $p(x)$ $xa$ $P(x)$ $P(x)=0$
Den fria termen för ett polynom är delbart med vilken heltalsrot som helst av ett polynom med heltalskoefficienter (om den ledande koefficienten är 1, är alla rationella rötter också heltal).
Låta vara en heltalsrot av det reducerade polynomet med heltalskoefficienter. Sedan för ett heltal är talet en multipel av . $a$ $Yxa)$ $k$ $A(k)$ $ak$

Applikationer

Bezouts sats och dess konsekvenser gör det lätt att hitta rationella rötter till polynomekvationer med rationella koefficienter.

Se även

Grundsats för algebra

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs, - M . : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Piotr Rudnicki (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formaliserad matematik. 12(1): 49–58.