Bezouts teorem (algebraisk geometri)

Bézouts teorem är ett påstående inom algebraisk geometri som beskriver antalet gemensamma punkter, eller skärningspunkter, för två plana algebraiska kurvor som inte har en gemensam komponent (det vill säga inte har oändligt många gemensamma punkter). Satsen säger att antalet gemensamma punkter för sådana kurvor inte överstiger produkten av deras styrkor , och likheten gäller om man tar hänsyn till punkter i oändligheten och punkter med komplexa koordinater (eller, mer allmänt, med koordinater från den algebraiska stängningen av markfältet ) , och om punkterna betraktas med multipliciteter lika med skärningsindexen .

Bezouts sats kallas också en generalisering till högre dimensioner: låt det finnas n homogena polynom i n + 1 variabler, grader av , som definierar n hyperytor i ett projektivt utrymme av dimension n . Om antalet skärningspunkter för hyperytor är ändligt över den algebraiska stängningen av markfältet, så är det lika med multipliciteter som beaktas. Liksom i fallet med kurvor i planet, för affina hyperytor, bortsett från multipliciteter och punkter i oändligheten, ger satsen endast en övre gräns för antalet punkter, som ofta nås. Det är känt som Bezout-gränsen . ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n))$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n))$

Strikt formulering

Låt X och Y vara två plana algebraiska kurvor definierade över ett fält F som inte har någon gemensam komponent (detta villkor betyder att X och Y definieras av polynom vars största gemensamma divisor är en konstant; i synnerhet gäller detta för två "vanliga" kurvor). Då är det totala antalet skärningspunkter för X och Y med koordinater i ett algebraiskt slutet fält E innehållande F , räknat med multipliciteter, lika med produkten av potenserna av X och Y .

En generalisering till högre dimensioner kan formuleras på följande sätt:

Låt n projektiva hyperytor ges i ett projektivt utrymme med dimension n över ett algebraiskt slutet fält, givet av n homogena polynom i n + 1 variabler, grader. Då är antingen antalet skärningspunkter oändligt, eller så är detta antal, räknat med multipliciteter, lika med produkten Om hyperytorna är irreducerbara och är i allmän position, så finns det skärningspunkter, alla med multiplicitet 1. $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n))$

Historik

Bezouts teorem angavs i huvudsak av Isaac Newton i hans bevis på Lemma 28 i den första volymen av hans Principia 1687, där han säger att antalet skärningspunkter för två kurvor ges av produkten av deras makter. Denna teorem publicerades senare av Étienne Bezout 1779 i hans Théorie générale des équations algébriques . Bezout, som inte hade till sitt förfogande modern algebraisk notation för ekvationer i flera variabler, gav ett bevis baserat på manipulation av krångliga algebraiska uttryck. Ur en modern synvinkel var Bezouts tillvägagångssätt ganska heuristiskt, eftersom han inte angav de exakta villkoren under vilka teoremet gäller. Detta ledde till känslan, uttryckt av vissa författare, att hans bevis inte var korrekt och inte var det första beviset på detta faktum. [ett]

Skärningsindex

Den mest känsliga delen av Bézouts teorem och dess generalisering till fallet med k algebraiska hyperytor i ett k -dimensionellt projektivt utrymme är proceduren för att tilldela de korrekta multipliciteterna till skärningspunkterna. Om P är en gemensam punkt för två plana algebraiska kurvor X och Y , som är en icke-singular punkt för dem båda, och tangenterna för X och Y i punkten P är olika, så är skärningsindexet 1. Detta motsvarar till fallet med "tvärkorsning". Om kurvorna X och Y har en gemensam tangent i punkten P är multipliciteten minst 2. Se skärningsindex för en allmän definition.

Exempel

Två olika icke-parallella linjer (som ligger i samma plan) skär alltid exakt en punkt. Två parallella linjer skär varandra i en enda punkt i oändligheten. För att se hur detta fungerar algebraiskt, i ett projektivt rum ges linjerna x +2 y =3 och x +2 y =5 av de homogena ekvationerna x +2 y -3 z =0 och x +2 y -5 z = 0. När vi löser detta ekvationssystem får vi x = −2 y och z =0, vilket motsvarar punkten (-2:1:0) i homogena koordinater . Eftersom z -koordinaten är 0, ligger denna punkt på linjen i oändligheten.
Specialfallet där en av kurvorna är en rät linje kan härledas från algebras fundamentalsats . I detta fall säger satsen att en algebraisk kurva av grad n skär den givna linjen vid n punkter, räknat med multipliciteter. Till exempel har parabeln som ges av ekvationen y − x 2 = 0 grad 2; linjen y − ax = 0 har grad 1, och de skär varandra vid exakt två punkter om a ≠ 0, och rör vid origo (skär med en multiplicitet av två) om a = 0.
Två koniska sektioner skär i allmänhet vid fyra punkter, varav några kan sammanfalla. För att korrekt räkna alla skärningspunkter kan det vara nödvändigt att ange komplexa koordinater och ta hänsyn till punkter som ligger på linjen i oändligheten i det projektiva planet. Till exempel:

Två cirklar skär aldrig fler än två punkter i planet, medan Bézouts sats förutsäger fyra. Diskrepansen uppstår från det faktum att vilken cirkel som helst passerar genom två fasta komplexa punkter i oändligheten. Spelar in en cirkel

{\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2))

i homogena koordinater får vi

(x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,

som visar att två punkter (1: i :0) och (1:- i :0) ligger på vilken cirkel som helst. När två cirklar inte skär varandra i det verkliga planet, har de andra två skärningspunkterna imaginära delar som inte är noll, eller om cirklarna är koncentriska, så skär de sig i två punkter i oändligheten med en multiplicitet av två.

Varje konisk, enligt satsen, måste skära linjen i oändligheten vid två punkter. Hyperbeln skär den i två reella punkter som motsvarar två riktningar av asymptoter. Ellipsen skär den vid två komplexa konjugerade punkter — i fallet med en cirkel, i punkterna (1: i : 0) och (1:- i : 0). Parabeln skär den bara vid en punkt, men detta är tangentpunkten, och därför räknas den två gånger.

Skiss av beviset

Vi skriver ekvationerna för X och Y i homogena koordinater som

a_{0}z^{m}+a_{1}z^{m-1}+\dots +a_{m-1}z+a_{m}=0

b_{0}z^{n}+b_{1}z^{n-1}+\dots +b_{n-1}z+b_{n}=0

där a i och b i är homogena polynom med graden i i x och y . Skärningspunkterna för X och Y motsvarar lösningarna av detta ekvationssystem. Låt oss bilda Sylvester-matrisen ; i fallet m =4 är n =3 det

S={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}&0&0\\0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3} &a_{4}&0\\0&0&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0&0&0\\0&b_{ 0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0&0\\0&0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{3}&0\\0&0&0&b_{0}&b_{1}&b_{2}&b_{ 3}\\\end{pmatrix}}.

Determinant | S | matrisen S , som också kallas resultanten av två polynom, är lika med 0 exakt när de två ekvationerna har en gemensam lösning för ett givet z . Determinant | S | är ett homogent polynom i x och y och en av dess termer är (a 0 ) n (b n ) m , så determinanten har graden mn . Genom algebras grundläggande sats kan den delas upp i mn linjära faktorer, så att det finns mn lösningar till ekvationssystemet. Linjära multiplikatorer motsvarar raka linjer som förbinder origo med skärningspunkterna. [2]

Anteckningar

↑ Kirwan, FrancesKomplexa algebraiska kurvor (neopr.) . - Storbritannien: Cambridge University Press , 1992. - ISBN 0-521-42353-8 .
↑ Harold Hilton . Plane Algebraic Curves (Oxford 1920), sid. tio

Litteratur

William Fulton . Algebraiska kurvor. Matematik föreläsningsanteckningsserie. W. A. Benjamin, 1974, sid. 112. ISBN 0-8053-3081-4 .

Länkar

? Bezouts sats på MathPages