Bolzano-Weierstrass teorem

Bolzano-Weierstrass-satsen , eller Bolzano-Weierstrass-gränspunktslemma , är ett analysförslag , vars formulering säger: från vilken begränsad sekvens av punkter som helst i rymden kan en konvergent undersekvens urskiljas. Bolzano-Weierstrass-satsen, särskilt fallet med en numerisk sekvens ( ), ingår i varje analyskurs. Det används i beviset för många förslag till analys, till exempel satsen om uppnåendet av en funktion som är kontinuerlig på ett segment genom dess bästa övre och nedre gränser . Satsen bär namnen på den tjeckiske matematikern Bolzano och den tyske matematikern Weierstrass , som självständigt formulerade och bevisade den. $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1$

Formuleringar

Flera formuleringar av Bolzano-Weierstrass sats är kända.

Första formuleringen

Låt en sekvens av punkter i rymden $\mathbb {R} ^{n}$ föreslås :

x_1, x_2, \ldots

och låt denna sekvens avgränsas , dvs.

\| x_k \| \leqslant C, \; k = 1, 2, \ldots

var är något nummer. $C > 0$

Sedan kan vi från denna sekvens välja en undersekvens

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

som konvergerar till någon punkt i rymden . $\mathbb {R} ^{n}$

Bolzano-Weierstrass-satsen i denna formulering kallas ibland principen om kompakthet av en avgränsad sekvens .

Utökad version av den första formuleringen

Ofta kompletteras Bolzano-Weierstrass-satsen med följande proposition.

Om sekvensen av punkter i rymden är obegränsad , är det möjligt att välja en delsekvens från den som har en gräns . $\mathbb {R} ^{n}$ $\infty$

För fallet kan denna formulering förfinas: från vilken obegränsad numerisk sekvens som helst kan man välja en undersekvens som har en oändlighetsgräns för ett visst tecken ( eller ). $n=1$ $+\infty$ $-\infty$

Således innehåller varje nummersekvens en delsekvens som har en gräns i den utökade uppsättningen av reella tal . $\overline{\mathbb{R}}$

Andra formuleringen

Följande proposition är en alternativ formulering av Bolzano-Weierstrass sats.

Varje avgränsad oändlig delmängd av rymden har minst en gränspunkt i . $E$ $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Mer detaljerat betyder detta att det finns en punkt , vars varje grannskap innehåller ett oändligt antal punkter i mängden . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $U_{\varepsilon}(x_0)$ $E$

Bevis på likvärdigheten mellan två formuleringar av Bolzano-Weierstrass sats

$\bigl ( 1 \Högerpil 2 \bigr )$ Låta vara en avgränsad oändlig delmängd av utrymmet . Ta in en sekvens av olika punkter $E$ $\mathbb{R}^n$ $E$

x_1, x_2, \ldots

Eftersom denna sekvens är begränsad, i kraft av den första formuleringen av Bolzano–Weierstrass-satsen, kan man extrahera en undersekvens från den

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

konvergerar till någon punkt . Då innehåller varje område av punkten ett oändligt antal punkter i mängden . $x_0 \in \mathbb{R}^n$ $x_0$ $E$

\bigl ( 2 \Högerpil 1 \bigr )

Omvänt, låt en godtyckligt avgränsad sekvens av punkter i rymden ges :

\mathbb{R}^n

$x_1, x_2, \ldots$ Uppsättningen av värden för denna sekvens är begränsad, men den kan vara antingen oändlig eller ändlig. Om ändlig, så upprepas ett av värdena i sekvensen ett oändligt antal gånger. Sedan bildar dessa termer en stationär undersekvens (dvs en sekvens vars alla element är lika, med början från några) som konvergerar till punkten . $E$ $E$ $en \i E$ $a$

Om mängden är oändlig, så finns det, i kraft av den andra formuleringen av Bolzano-Weierstrass sats, en punkt i vilken omgivning som helst där det finns oändligt många olika medlemmar av sekvensen. $E$ $x_0 \in \mathbb{R}^n$

Låt oss välja sekventiellt för punkten samtidigt som vi observerar villkoret för ökande antal: $m = 1, 2, \ldots$ $x_{k_m} \in U_{1/m}(x_0)$

k_1 < k_2 < \ldots

Sedan konvergerar underföljden till punkten .

x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots

x_0

quod erat demonstration

Bevis

Bolzano–Weierstrass-satsen härleds från fullständighetsegenskapen för mängden reella tal . Den mest kända varianten av beviset använder egenskapen fullständighet i form av principen om kapslade segment .

Endimensionellt fall

Låt oss bevisa att från vilken avgränsad numerisk sekvens som helst är det möjligt att välja en konvergent delsekvens. Följande bevismetod kallas Bolzanometoden , eller bisektionsmetoden .

Låt en avgränsad numerisk sekvens ges

x_{1},x_{2},x_{3},\ldots

Det följer av sekvensens avgränsning att alla dess medlemmar ligger på ett visst segment av den reella linjen, som vi betecknar med . $[a_0, b_0]$

Dela segmentet på mitten i två lika stora segment. Åtminstone ett av de resulterande segmenten innehåller ett oändligt antal sekvensmedlemmar. Låt oss utse det . $[a_0, b_0]$ $[a_1, b_1]$

I nästa steg upprepar vi proceduren med segmentet : vi delar upp det i två lika stora segment och väljer från dem den som innehåller ett oändligt antal medlemmar av sekvensen. Låt oss utse det . $[a_1, b_1]$ $[a_2, b_2]$

Om vi fortsätter processen får vi en sekvens av kapslade segment

[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots

där varje efterföljande är hälften av den föregående och innehåller ett oändligt antal medlemmar av sekvensen . $\{x_k\}$

Längden på segmenten tenderar att vara noll:

|b_m - a_m| = \frac{|b_0 - a_0|}{2^m} \till 0

I kraft av Cauchy-Cantor-principen för kapslade segment finns det en enda punkt som tillhör alla segment: $\xi$

a_m \leqslant \xi \leqslant b_m, \; m = 0, 1, \ldots

Genom konstruktion innehåller varje segment ett oändligt antal termer i sekvensen. Låt oss välja en sekvens $[a_m,b_m]$

x_{k_m} \in [a_m,b_m], \; m = 0, 1, 2, \ldots

samtidigt som man observerar tillståndet för ökande antal:

k_0 < k_1 < \ldots

Sedan konvergerar underföljden till punkten . Detta följer av det faktum att avståndet från till inte överstiger längden på segmentet som innehåller dem , varifrån $\{ x_{k_m} \}$ $\xi$ $x_{k_m}$ $\xi$ $[a_m,b_m]$

|x_{k_m} - \xi | \leqslant |b_m - a_m| \till 0

Utvidgning till fallet med ett utrymme med godtycklig ändlig dimension

Bolzano-Weierstrass-satsen är lätt att generalisera till fallet med ett utrymme av godtycklig dimension.

Låt en sekvens av punkter i rymden ges : $\mathbb{R}^n$

\begin{matris} x_1 = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, \ldots, x_1^{(n)}) \\ x_2 = (x_2^{(1)}, x_2^ {(2)}, \ldots, x_2^{(n)}) \\ \ldots \\ \end{matris}

(det nedre indexet är numret på sekvensmedlemmen, det övre är koordinatnumret). Om sekvensen av punkter i rymden är begränsad, då var och en av de numeriska koordinatsekvenserna: $\mathbb{R}^n$

x_1^{(\nu)}, x_2^{(\nu)}, \ldots

är också begränsad ( är koordinatnumret). $\nu = 1, \ldots, n$

I kraft av den endimensionella varianten av Bolzano–Weierstrass-satsen är det möjligt att extrahera från sekvensen en undersekvens av punkter vars första koordinater bildar en konvergent sekvens. Från den resulterande delsekvensen väljer vi återigen en delsekvens som konvergerar längs den andra koordinaten. I detta fall bevaras konvergensen i den första koordinaten på grund av det faktum att varje undersekvens av en konvergent sekvens också konvergerar. Och så vidare. $\{ x_k\}$ $\{ x_{k_m} \}$ $\{ x_{k_m}^{(1)} \}$

Efter stegen får vi lite sekvens $n$

x_{r_1}, x_{r_2}, \ldots

som är en följd av , och konvergerar i var och en av koordinaterna. Det följer att denna efterföljd konvergerar. $x_1, x_2, \ldots$

Historik

Bolzano-Weierstrass-satsen (för fallet ) bevisades först av den tjeckiske matematikern Bolzano 1817. I Bolzanos arbete dök det upp som ett lemma i beviset för satsen om mellanvärden för en kontinuerlig funktion , nu känd som Bolzano-Cauchy-satsen. Men dessa och andra resultat, bevisade av Bolzano långt före Cauchy och Weierstrass , gick obemärkt förbi. $n=1$

Bara ett halvt sekel senare återupptäckte Weierstrass, oberoende av Bolzano, och bevisade detta teorem. Det kallades ursprungligen Weierstrass-satsen, innan Bolzanos arbete blev känt och fick erkännande.

Idag bär denna sats namnen Bolzano och Weierstrass. Ofta kallas denna sats Bolzano-Weierstrass- lemmat , och ibland gränspunktslemma .

Bolzano-Weierstrass-satsen och begreppet kompakthet

Bolzano-Weierstrass-satsen fastställer följande intressanta egenskap hos en begränsad mängd : varje sekvens av punkter innehåller en konvergent undersekvens. $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$

När man bevisar olika påståenden i analysen tillgriper man ofta följande knep: en sekvens av punkter bestäms som har någon önskad egenskap, och sedan väljs en undersekvens från den, som också har den, men som redan konvergerar. Det är till exempel så här Weierstrass-satsen bevisas att en funktion som är kontinuerlig på ett intervall är avgränsad och tar sina största och minsta värden.

Effektiviteten av en sådan teknik i allmänhet, liksom önskan att utöka Weierstrass-satsen till godtyckliga metriska utrymmen , fick den franske matematikern Maurice Fréchet att introducera begreppet kompakthet 1906 . Egenskapen för avgränsade mängder i , som fastställs av Bolzano–Weierstrass-satsen, är bildligt talat att mängdens punkter är placerade ganska "nära" eller "kompakt": efter att ha tagit ett oändligt antal steg längs denna mängd , vi kommer säkert att närma oss så nära som vi vill - en punkt i rymden. $\mathbb{R}^n$

Fréchet introducerar följande definition: en mängd kallas kompakt , eller kompakt om någon sekvens av dess punkter innehåller en undersekvens som konvergerar till någon punkt i denna mängd. Det antas att ett mått är definierat på mängden, det vill säga att det är ett metriskt utrymme eller en delmängd av ett metriskt utrymme. $M$ $M$

Baserat på denna definition är inte varje avgränsad mängd kompakt: en undersekvens av punkter från kan konvergera till en punkt som inte längre tillhör denna mängd. Men stängningen av en avgränsad uppsättning är redan kompakt. Således skapar Bolzano-Weierstrass-satsen ett tillräckligt villkor för kompakthet i rymden : för att en mängd ska vara kompakt räcker det att den är stängd och avgränsad. Det är inte svårt att verifiera nödvändigheten av dessa villkor (detta är mycket lättare än att bevisa tillräcklighet). $M \subset \mathbb{R}^n$ $M$ $\mathbb{R}^n$ $M \subset \mathbb{R}^n$

Sålunda, ur den allmänna definitionen av kompakthet, är Bolzano-Weierstrass-satsens roll att den fastställer ett kriterium för kompakthet i rymden : kompakta mängder i är exakt slutna avgränsade mängder. $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

Se även

Anteckningar

Litteratur

Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Rybnikov K. A. Matematikens historia. - M . : Moscow Universitys förlag, 1963. - T. 2.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis / per. från engelska. Havin. Den andra är stereotyp. - M . : "Mir", 1976.