Weierstrass avgränsade ökande sekvenssats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 november 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Weierstrass -satsen om en ökande sekvens avgränsad ovanifrån (eller en minskande sekvens avgränsad underifrån) säger att varje monotont ökande (eller monotont minskande) sekvens avgränsad från ovan har en gräns, och denna gräns är lika med dess största övre (eller nedre) bunden. Trots bevisets genomskinlighet och självklarhet visar sig denna sats vara mycket bekväm för att hitta gränserna för många sekvenser, eller åtminstone bevisa deras existens.

Formulering

---

Bevis

Låt vara en avgränsad ökande sekvens. Sedan är mängden avgränsad, har därför av supremum satsen en supremum . Låt oss beteckna det med . Sedan . I själva verket, eftersom är det högsta av uppsättningen , då för någon finns det ett antal så att . Sedan för alla vi har: . Sedan kl . Därför, . Teoremet har bevisats. [ett] ${x_n}$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $S$ $\lim_{n \to \infty} x_n = S$ $S$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $\varepsilon >0$ $N$ $S-\varepsilon <x_N\leqslant S$ $n>N$ $S-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant S<S+\varepsilon$ $\vänster | {x_n-S} \right |<\varepsilon$ $n>N$ $\lim_{n \to \infty} x_n = S$

Anteckningar

↑ Zorich, s. 101-102

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys. Del I. M.: Nauka, 1981. 544 sid.