Hamiltons teorem
De tre linjesegmenten som förbinder ortocentret med den spetsiga triangelns hörn delar upp den i tre Hamiltonska trianglar som har samma Eulercirkel ( cirkel med nio punkter ) som den ursprungliga spetstriangeln.
Exempel
Om ortocentret för den spetsvinklade triangeln ABC i den visade figuren betecknas med T , då har de tre Hamiltonska trianglarna TAB , TBC , och TCA en gemensam Eulercirkel ( cirkel med nio punkter ).
Association
De tre Hamiltontrianglarna i Hamiltons sats bildar det så kallade drakeögat .
Applikation
Hamiltons teorem används som en integrerad del av Johnsons teorem (se figur).
Konsekvenser
- Tre linjesegment som förbinder ortocentret med spetsarna i en spetsig triangel delar upp den i tre Hamiltontrianglar med lika radier av de omskrivna cirklarna .
- Radierna för de omskrivna cirklarna i de tre Hamiltonska trianglarna är lika med radien för cirkeln omskriven kring den ursprungliga spetsiga triangeln. Låt oss kalla dem Hamilton-Johnson-cirklar.
- Radierna för de omskrivna cirklarna i tre Hamiltonska trianglar har tre centra J A , J B och J C . Dessa tre centra bildar hörnen på Johnsontriangeln ΔJ A J B J C , som är lika med den ursprungliga triangeln Δ ABC och har parvis parallella sidor ( Johnsons sats , se figur).
- Om vi ritar räta linjer parallella med motsatta sidor genom hörnen på den ursprungliga triangeln ABC , får vi en antikomplementär triangel som liknar den ursprungliga triangeln ABC , vars hörn P A , P B och PC ligger på tre Hamilton-Johnson-cirklar med lika radier (se fig.).
Anmärkning 1
Båda följderna följer omedelbart av Hamiltons teorem , om vi noterar att Eulercirkelns radie är lika med halva radien av cirkeln omskriven om samma triangel.
Anmärkning 2
- För en trubbig triangel omformuleras Hamiltons teorem enligt följande. Låt oss bygga ett ortocenter utanför en trubbvinklad triangel som skärningspunkten mellan dess två höjder, sänkt från spetsarna på två spetsiga vinklar till fortsättningen av dess två sidor, och fortsättningen av den tredje höjden ritad från spetsen på en trubbig vinkel. Då bildar ortocentrum och två spetsiga hörn en spetsig triangel, som Hamiltons sats gäller. I synnerhet kommer själva den trubbiga triangeln att vara en av de tre Hamiltonska trianglarna . Topparna av de andra två Hamilton-trianglarna är ortocentrum och hörn på två intilliggande sidor som bildar en trubbig vinkel i en trubbig triangel.
- För en rätvinklig triangel sammanfaller ortocentret med spetsen på den räta vinkeln, och en Hamiltontriangel sammanfaller med denna räta triangel själv med den korrekta radien (diametern) av den omskrivna cirkeln . De återstående två Hamilton-trianglarna urartar till två ben i spetsen av den räta vinkeln. Genom dessa två ben (som genom en triangel med två punkter - hörn) är det möjligt att rita ett oändligt antal omskrivna cirklar med diametrar som inte är mindre än längden på dessa ben. Det vill säga Hamiltons sats är formellt uppfylld även i detta begränsande fall.
Exempel
Om i figuren som visas ortocentret för en spetsvinklad triangel ABC betecknas med T , då för en trubbig triangel TBC , kommer ortocentrum att vara punkt A. Om man går från den trubbiga triangeln TBC till den spetsiga triangeln ABC , kan man återigen använda Hamiltons sats .
Historik
Satsen bevisades av den enastående irländska matematikern och fysikern på 1800-talet William (William) Rowan Hamilton 1861. Hamilton, William Rowan (1806-1865) - irländsk matematiker.
Litteratur
Se även