Greene-Taos sats

Green-Tao-satsen är ett talteoretiskt påstående bevisat av Ben Green och Terence Tao 2004 [1] att en sekvens av primtal innehåller aritmetiska progressioner av godtycklig längd. Det finns med andra ord aritmetiska progressioner av primtal med k termer, där k kan vara vilket naturligt tal som helst. Beviset ligger i en förlängning av Szémerédys teorem .

Formulering

Även om Green-Tao-satsen bara är känd som ett bevis på själva faktumet av närvaron av godtyckligt långa progressioner i uppsättningen av primtal, finns det [2] betydande stärkningar av detta påstående: för det första förblir påståendet sant för en godtycklig uppsättning primtal med positiv densitet (med avseende på uppsättningen av alla primtal); för det andra finns det separata övre gränser för hur stora delarna av den minimala progressionen i den aktuella uppsättningen kan vara.

Vidare i formuleringarna betyder uppsättningen av primtal. Inmatningen betyder , där logaritmen tas gånger. ${\mathbb P}$ $\log _{[k]}x$ $\log \log \dots \log x$ $k$

Greene-Taos sats

Låt vara en uppsättning primtal och dess densitet med avseende på primtal är strikt positiv. Sedan innehåller uppsättningen för alla en aritmetisk längdförlopp . $A$ $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{ |\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ $k\geqslant 2$ $A$ $k$

I sitt separata tidigare arbete [3] visade Green ett resultat angående uppsättningens distributionsfunktion , men bara för ett specialfall av en tre-terms progression. $A$

Det finns en konstant sådan att om uppsättningen av primtal uppfyller , så innehåller den en tre-term aritmetisk progression. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N))}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N)) }}$

Eftersom den nödvändiga funktionen är asymptotiskt mindre än antalet primtal på segmentet , förblir satsen sann för oändliga uppsättningar av positiv densitet när , . Således kan vi omformulera den sista satsen för en fast densitet. $[1,n]$ $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N))$ $\delta>0$

Det finns en konstant sådan att för varje uppsättning primtal och dess densitet , kommer följande följd att gälla: om , innehåller sedan en tre-term aritmetisk progression. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|))$ ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right))))) )$ $A$

Exempel

18 januari 2007 hittade Yaroslav Vroblevsky det första fallet av en aritmetisk progression av 24 primtal [4] : 468 395 662 504 823 + 205 619 223 092 870 n , från n = 0 till 23.

Här är konstanten 223 092 870 produkten av primtal som inte är större än 23 (se primorial ).

Den 17 maj 2008 hittade Wroblewski och Raanan Chermoni en sekvens av 25 primtal: 6 171 054 912 832 631 + 366 384 223 092 870 n , från n = 0 till 24.
Den 12 april 2010 hittade Benoit Perichon, med hjälp av Wroblewskis och Jeff Reynolds program i PrimeGrid distributed computing-projektet , en aritmetisk progression av 26 primtal: 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 223 092 870 n , n = 0 till 25 (sekvens A204189 i OEIS ).

Variationer och generaliseringar

2006 generaliserade Tao och Tamar Ziegler resultatet till polynomförlopp [5] . Mer exakt, för alla givna polynom med heltalskoefficienter P 1 , …, P k för en variabel m med en konstant term noll, finns det oändligt många heltal x , m så att x + P 1 ( m ), …, x + P k ( m ) är primtal. Det speciella fallet där polynomen är m , 2 m , …, km , innebär det föregående resultatet (det finns aritmetiska progressioner av primtal av längden k ).

Se även

Anteckningar

↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), Primtalen innehåller godtyckligt långa aritmetiska progressioner , Annals of Mathematics vol. 167(2): 481-547 , DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
↑ I. D. Shkredov, Szemeredys teorem och problem om aritmetiska progressioner Arkiverad 24 juli 2018 på Wayback Machine , sid. 117.
↑ Green, Ben (2005), Roth's theorem in the primes , Annals of Mathematics vol 161 (3): 1609-1636 , DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Arkiverad 14 juli 2014 på Wayback Machine .
↑ Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), Primtalen innehåller godtyckligt långa polynomförlopp , Acta Mathematica T. 201: 213-305 , DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .

Greene-Taos sats

Formulering

Exempel

Variationer och generaliseringar

Se även

Anteckningar

Länkar