Huygens-Steiners sats

Huygens-Steiners sats ( Huygens sats, Steiners sats ): tröghetsmomentet för en kropp kring en godtycklig fast axel är lika med summan av denna kropps tröghetsmoment kring en axel parallell med den, som går igenom kroppens massacentrum och produkten av kroppens massa gånger kvadraten på avståndet mellan axlarna [1] : $J$ $J_{C}$ $m$ $d$

J=J_{C}+md^{2}

Teoremet är uppkallat efter den schweiziske matematikern Jakob Steiner och den holländska matematikern, fysikern och astronomen Christian Huygens .

Slutsats

Vi kommer att betrakta en absolut stel kropp som bildas av en uppsättning materialpunkter [2] .

Per definition av tröghetsmomentet för och, kan vi skriva $J_{C}$ $J$

J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},

var är radievektorn för kroppens punkt i koordinatsystemet med origo placerat i masscentrum, och är radievektorn för punkten i det nya koordinatsystemet, genom vars origo den nya axeln passerar. $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} '$

Radievektorn kan skrivas som summan av två vektorer: ${\displaystyle \mathbf {r'} _{i))$

\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,

var är radievektorn för avståndet mellan den gamla (som går genom masscentrum) och nya rotationsaxlar. Då tar uttrycket för tröghetsmomentet formen $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\summa _{i=1}^{n} m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.

Att ta ut för summan får vi $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1 }^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\summa _{i=1}^{n}m_{i}.

Enligt definition av masscentrum, för dess radievektor , $\mathbf {r} _{c}$

\mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i)){\sum \limits _{i}m_{ i}}}.

Eftersom i ett koordinatsystem med origo i masscentrum är masscentrums radievektor lika med noll, då är summan lika med noll . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i))$

Sedan

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\summa _{i=1} ^{n}m_{i},

varifrån den önskade formeln följer:

J=J_{C}+md^{2},

var är det kända tröghetsmomentet kring axeln som går genom kroppens masscentrum. $J_{C}$

Om kroppen inte består av materiella punkter, utan bildas av en kontinuerligt fördelad massa, så ersätts summering i alla ovanstående formler med integration. Resonemanget förblir detsamma.

Konsekvens . Från den resulterande formeln är det uppenbart att . Därför kan det hävdas att kroppens tröghetsmoment kring axeln som passerar genom kroppens masscentrum är det minsta av alla kroppens tröghetsmoment kring axlarna som har en given riktning. ${\displaystyle J\geq J_{C))$

Exempel

Stångens tröghetsmoment kring axeln som går genom dess centrum och vinkelrätt mot staven (låt oss kalla det axel ) är lika med $C$

J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.

Då, enligt Steinersatsen, kommer dess moment kring en godtycklig parallell axel att vara lika med

J=J_{C}+md^{2},

var är avståndet mellan denna axel och axeln . I synnerhet kan stavens tröghetsmoment i förhållande till axeln som går genom dess ände och vinkelrätt mot staven hittas genom att lägga in den sista formeln : $d$ $C$ $d=L/2$

J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.

Omräkning av tröghetstensorn

Huygens-Steiners sats medger en generalisering till tröghetsmomentet tensor , vilket gör det möjligt att erhålla en tensor med avseende på en godtycklig punkt från en tensor med avseende på massans centrum. Låt vara förskjutningen från massans centrum, då ${\hat {J}}_{ij}$ ${\hat {I}}_{ij}$ ${\mathbf {a}}$

{\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) ,

var

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})

är förskjutningsvektorn från massans centrum och är Kronecker-symbolen .

\delta _{{ij}}

Som man kan se, för de diagonala elementen i tensorn (at ), har formeln formen av Huygens-Steiners sats för ögonblicket om den nya axeln. $i=j$

Se även

Anteckningar

↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - 11:e uppl. - M . : " Högre skola ", 1995. - S. 268-269. — 416 sid. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ En absolut stel kropp som bildas av en uppsättning materialpunkter är ett mekaniskt system där avstånden mellan dess ingående punkter är konstanta.