Davenport-Schmidts sats

Inom matematik , inom området för Diophantine approximationer , bestämmer Davenport-Schmidt-satsen hur väl reella tal av ett speciellt slag kan approximeras av en annan speciell sorts tal. Det hävdar nämligen möjligheten att få en bra approximation till irrationella tal som inte är kvadratiska med hjälp av kvadratiska irrationer eller bara rationella tal . Teorem uppkallad efter Harold Davenport och Wolfgang M. Schmidt.

Sats

För ett rationellt eller kvadratiskt irrationellt tal finns det unika heltal , och sådana att minst ett av dem är icke-noll, den första icke-noll av dem är positiv, de är relativt primtal , och $\alfa$ $x$ $y$ $z$

x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.

Om är ett kvadratiskt irrationellt tal, som , och vi kan ta koefficienterna för dess minimala polynom . Om det är rationellt accepterar vi . Genom att använda dessa heltal, unikt definierade för varje sådan , ges höjden av formeln $\alfa$ $x$ $y$ $z$ $\alfa$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.

Teoremet säger att för varje reellt tal som varken är rationellt eller kvadratiskt irrationellt finns det oändligt många reella tal som är rationella eller kvadratiska irrationella och som uppfyller olikheten $\xi$ $\alfa$

|\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),

var är ett reellt tal som uppfyller . [ett] $C$ $C>160/9$

Även om denna sats är relaterad till Roths sats , är dess verkliga användning att den är effektiv i den meningen att en konstant kan definieras för en given . $C$ $\xi$

Anteckningar

↑ Davenport H., Schmidt Wolfgang M. Approximation till reella tal genom kvadratiska irrationaler // Acta Arithmetica 13 , (1967).

Litteratur

Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 med smärre korrigeringar])
Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

Länkar

Davenport-Schmidts sats . PlanetMath .