Kakutani fixpunktssats

Kakutanis fixpunktssats är en generalisering av Brouwers fixpunktsats till flervärdiga funktioner.

Formulering

Låt vara en icke- tom kompakt konvex delmängd av det euklidiska rummet . Låta vara en funktion med flera värden på , så att mängden är icke-tom och konvex för alla , och har en stängd graf, det vill säga mängden $S$ $\phi \colon S\to 2^{S}$ $S$ $\phi (x)\subset S$ $x\i S$

{\displaystyle \{\,(x,y)\in S\times S\mid \,y\in \phi (x)\))

är stängd i den direkta produkttopologin . Då har en fast punkt , det vill säga det finns en punkt sådan att . $S\times S$ $\phi(x)$ $x\i S$ $x\in \phi (x)$

Notera

Följande exempel visar att kravet på att seten är konvexa är väsentligt. $\phi(x)$

Låt oss fixa ett tillräckligt litet positivt tal och överväga funktionen $\varepsilon$

\varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |xy|\geq \varepsilon \,\},

definieras på segmentet . Observera att mängden inte är konvex och att denna funktion inte har en fixpunkt, även om den uppfyller alla andra krav i satsen. $[0,1]$ $\phi ({\tfrac {1}{2)))$

Om bevis

Kakutanis sats kan reduceras till Brouwers sats genom approximation .

Kakutanis sats kan härledas från Sperners lemma på liknande sätt som Brouwers sats.

Historik

Satsen bevisades av Shizuo Kakutani 1941, [1] för att bevisa minimaxsatsen i ett antagonistiskt spel .

Det användes av John Nash för att bevisa existensen av Nash-jämvikten i den berömda tvåsidiga uppsatsen [2] som gav honom Nobelpriset i ekonomi .

Anteckningar

↑ Kakutani, Shizuo . En generalisering av Brouwers fixpunktssats (obestämd) // Duke Mathematical Journal. - 1941. - T. 8 , nr 3 . - S. 457-459 . - doi : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .
↑ Nash, JF, Jr. Equilibrium Points in N-Person Games (engelska) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 1950. - Vol. 36 , nr. 1 . - S. 48-49 . - doi : 10.1073/pnas.36.1.48 . — PMID 16588946 .

Länkar

Vorobyov N.N. Grunderna i spelteorin . icke-kooperativa spel. — M.: Nauka , 1984.
Savvateev A.V. Grundläggande teorem för spelteori // All-institute seminarium "Colloquium of MIAN" 4 december 2014 16:00, Moskva, konferenssal MIAN (Gubkina street, 8).