Carathéodorys konvexa skrovsats

Carathéodorys konvexa skrovsats säger att för vilken punkt som helst av det konvexa skrovet i en delmängd av det euklidiska rymden finns det en icke-degenererad simplex som innehåller den med hörn i denna delmängd.

Uttalande av satsen

Låt vara en kompakt uppsättning i dimensionellt euklidiskt utrymme . Då är vilken punkt som helst i det konvexa skrovet en konvex kombination av som mest punkter i uppsättningen [1] [2] . Det är $A$ $m$ $x$ $A$ $m+1$ $A$

\operatorname {Conv} A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=\summa _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_ {i},\quad x_{i}\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1 ,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}

Relaterade resultat

I fallet när en av koordinaterna för en punkt når ett extremvärde (för mängden A ), kan denna punkt representeras som en konvex kombination av högst m punkter A [1] . $x\in \operatorname {Conv} A$

Hellys sats [1] är också relaterad till Carathéodorys konvexa skrovsats .

Det konvexa skrovet på ett kompakt set är kompakt. Detta påstående kallas också ibland för Carathéodorys sats. [3]

Anteckningar

↑ 1 2 3 Yudin, 1974 , sid. 22.
↑ Shikin E. V. Linjära utrymmen och avbildningar. - M., Moscow State University , 1987. - sid. 176
↑ § 1 Konvexa skrov. Lemma och Carathéodorys sats . Tillträdesdatum: 9 december 2014. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)

Litteratur

Yudin D. B. Matematiska metoder för kontroll under förhållanden med ofullständig information. - M . : "Sovjetradio", 1974. - 400 s.