Kovalevskayas sats

Kovalevskayas teorem om det unika och lokala lösbarheten av Cauchy-problemet för Kovalevskaya-systemet spelar en viktig roll i teorin om partiella differentialekvationer .

Kovalevskayas system

System av partiella differentialekvationer med okända funktioner av formen ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{N))$

{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x ,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1 }^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),

där , , , , , det vill säga antalet ekvationer är lika med antalet okända, kallas Kovalevskaya-systemet . Den oberoende variabeln särskiljs av det faktum att bland derivatorna av högsta ordningen av varje funktion i systemet finns en ordningsderivata och systemet löses med avseende på dessa derivator. $x=(x_{1},...,x_{n})$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ ${\displaystyle a\leqslant n_{j))$ $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ $i,j=1,...,N$ $t$ $n_{i}$ $t$ $n_{i}$

Följande notation används:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\ partiell x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},

var , , . ${\displaystyle a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ $a_{i}\geqslant 0$ $i=1,...,N$

Formulering

Om alla funktioner är analytiska i en grannskap av punkten och funktionerna är definierade och analytiska i en grannskap av punkten , så har Cauchy-problemet en analytisk lösning i någon grannskap av punkten , som är unik i klassen av analytiska funktioner . $\phi _{i}^{k}(x)$ $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\ prickar ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots )$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots,x_{n}^{0})$

Bevis

Se även

Cauchy-Kovalevskaya teorem

Litteratur

Vladimirov VS ekvationer av matematisk fysik. - Moskva : "Nauka", 1981. - S. 78-79. — 512 sid.