Kronecker-Cappellis sats

Kronecker-Capelli-satsen är ett kriterium för kompatibiliteten hos ett system av linjära algebraiska ekvationer:

Ett system av linjära algebraiska ekvationer är konsekvent om och endast om rangordningen för dess huvudmatris är lika med rangordningen för dess utökade matris.

För att ett linjärt system ska vara kompatibelt är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för den utökade matrisen i detta system är lika med rangordningen för dess huvudmatris . Bevisat av Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .

Förklaringar

Ekvationssystemet är lösbart om och endast om , där den förstärkta matrisen erhålls från matrisen genom att tilldela kolumnen [1] . $Ax=B$ $\operatörsnamn {rang} A=\operatörsnamn {rang} (A|B)$ $(A|B)$ $A$ $B$

Bevis (systemkompatibilitetsvillkor)

Nödvändighet

Låt systemet vara konsekvent. Sedan finns det siffror som . Därför är kolumnen en linjär kombination av matrisens kolumner . Från det faktum att rangordningen för en matris inte ändras om en rad (kolumn) tas bort från systemet med dess rader (kolumner) eller en rad (kolumn) tilldelas, vilket är en linjär kombination av andra rader (kolumner), det följer att . $x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\dots,a_n$ $A$ $\operatörsnamn {rang} A=\operatörsnamn {rang} A|B$

Tillräcklighet

Låt . Låt oss ta några grundläggande biämnen i matrisen . Sedan kommer det också att vara grundmoll i matrisen . Sedan kommer den sista kolumnen i matrisen enligt minorsatsen att vara en linjär kombination av baskolumnerna , det vill säga matrisens kolumner . Därför är kolumnen med fria medlemmar i systemet en linjär kombination av matrisens kolumner . $\operatörsnamn {rang} A=\operatörsnamn {rang} A|B=r$ $A$ $\operatorname {rang} A|B=r$ $A|B$ $A|B$ $A$ $A$

Konsekvenser

Antalet huvudvariabler i systemet är lika med systemets rangordning.
Ett konsekvent system kommer att definieras (dess lösning är unik) om systemets rangordning är lika med antalet av alla dess variabler.

Se även

Anteckningar

↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 65.

Litteratur

V. A. Ilyin, G. D. Kim Linear Algebra and Analytic Geometry, Moskva: TK Velbi, Prospekt Publishing House, 2007, 400 s.
Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .