System av linjära algebraiska ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 januari 2021; kontroller kräver 7 redigeringar .

Ett system av linjära algebraiska ekvationer ( linjärt system , förkortningar SLAE , SLUE används också ) är ett ekvationssystem där varje ekvation är en linjär - algebraisk ekvation av första graden.

I den klassiska versionen betraktas koefficienter vid variabler, fria termer och okända som reella tal , men alla metoder och resultat är bevarade (eller naturligt generaliserade) till fallet med alla fält , till exempel komplexa tal .

Att lösa system av linjära algebraiska ekvationer är ett av de klassiska problemen med linjär algebra , som till stor del bestämde dess objekt och metoder. Dessutom spelar linjära algebraiska ekvationer och metoder för att lösa dem en viktig roll inom många tillämpade områden, inklusive linjär programmering , ekonometri .

Kan generaliseras till fallet med en oändlig uppsättning okända .

Konventioner och definitioner

Allmän bild av systemet med linjära algebraiska ekvationer:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_ {1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{ 2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Här är antalet ekvationer, och är antalet variabler, är de okända som ska bestämmas, koefficienterna och fria termer antas vara kända. Koefficientindex i linjära ekvationssystem ( ) bildas enligt följande konvention: det första indexet ( ) betecknar ekvationens nummer, det andra ( ) är numret på den variabel som denna koefficient står vid [1] . $m$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m))$ $a_{{ij}}$ $i$ $j$

Ett system kallas homogent om alla dess fria medlemmar är lika med noll ( ), annars är det heterogent . $b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0$

Ett andragradssystem av linjära ekvationer är ett system där antalet ekvationer sammanfaller med antalet okända (). Ett system där antalet okända är större än antalet ekvationer är underbestämt , sådana system av linjära algebraiska ekvationer kallas också rektangulära . Om det finns fler ekvationer än okända, är systemet överbestämt . $m=n$

Lösningen av ett system av linjära algebraiska ekvationer är en uppsättning siffror så att deras motsvarande substitution istället för till systemet förvandlar alla dess ekvationer till identiteter . $n$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n))$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

Ett system kallas kompatibelt om det har minst en lösning, och inkonsekvent om det inte har några lösningar. Lösningar anses olika om minst ett av variablernas värden inte matchar. Ett gemensamt system med en enda lösning kallas definitivt , om det finns mer än en lösning - underbestämd .

Matrisform

Systemet med linjära algebraiska ekvationer kan representeras i matrisform som:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

eller:

yxa = b

Här är systemets matris, är kolumnen av okända och är kolumnen med fria termer. Om en kolumn med fria termer tilldelas matrisen till höger, kallas den resulterande matrisen en utökad. $A$ $x$ $b$ $A$

Kronecker-Capelli-satsen fastställer ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kompatibiliteten av ett system av linjära algebraiska ekvationer genom egenskaperna hos matrisrepresentationer: systemet är konsekvent om och endast om rangordningen för dess matris sammanfaller med rangordningen för den utökade matrisen.

Ekvivalenta system av linjära ekvationer

System av linjära ekvationer kallas ekvivalenta om mängden av deras lösningar är densamma, det vill säga att varje lösning till ett system också är en lösning till ett annat, och vice versa. Det antas också att system utan lösningar är likvärdiga.

Ett system som är ekvivalent med ett givet kan erhållas, i synnerhet genom att ersätta en av ekvationerna med denna ekvation multiplicerad med valfritt tal som inte är noll. Ett ekvivalent system kan också erhållas genom att ersätta en av ekvationerna med summan av denna ekvation med en annan ekvation av systemet. I allmänhet, att ersätta ekvationen för ett system med en linjär kombination av ekvationer ger ett system som är ekvivalent med det ursprungliga.

Systemet med linjära algebraiska ekvationer är ekvivalent med systemet , där är en icke-singular matris . I synnerhet om matrisen i sig är icke-singular och det finns en invers matris för den , kan lösningen av ekvationssystemet formellt skrivas som . $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$ $C$ $A$ $A^{-1}$ $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$

Lösningsmetoder

Direkta metoder ger en algoritm med vilken man kan hitta den exakta lösningen av system med linjära algebraiska ekvationer. Iterativa metoder är baserade på användningen av en iterativ process och gör det möjligt att erhålla en lösning som ett resultat av successiva approximationer.

Några direkta metoder:

Gauss metod
Gauss-Jordan-metoden
Cramer metod
Matrismetod
Svepmetod (för tridiagonala matriser )
Cholesky sönderdelning eller kvadratrotmetod (för positiv-definitiv symmetriska och hermitiska matriser)

Iterativa metoder fastställer en procedur för att förfina en viss initial approximation till en lösning. När konvergensvillkoren är uppfyllda tillåter de en att uppnå vilken noggrannhet som helst genom att bara upprepa iterationer. Fördelen med dessa metoder är att de ofta snabbare uppnår en lösning med en förutbestämd noggrannhet, och även låter dig lösa stora ekvationssystem. Kärnan i dessa metoder är att hitta den fixerade punkten för matrisekvationen

{\displaystyle \mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime ))

ekvivalent med det initiala systemet av linjära algebraiska ekvationer. När man itererar på höger sida av ekvationen, till exempel i Jacobi-metoden (enkel iterationsmetod), ersätts approximationen som hittades i föregående steg: $\mathbf {x}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime ))

Iterativa metoder är indelade i flera typer, beroende på vilken metod som används:

Splitbaserat: $(MN)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+ 1 }=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
Variationstyp: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
Projektionstyp: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf { m}$

Bland de iterativa metoderna:

Jacobi- metod ( enkel iterationsmetod )
Gauss-Seidel-metoden
Avslappningsmetod
Multigrid-metod
Montante metoden
Abramovs metod (lämplig för att lösa små SLAE)
Metod för generaliserade miniminivåer
Bikonjugerad gradientmetod
Stabiliserad bikonjugatgradientmetod
Kvadratisk metod för bikonjugerade gradienter
Metod för kvasiminimumrester ( QMR )
Rotationsmetod [2]

Anteckningar

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linjär algebra: Lärobok för universitet. - 6:e uppl., raderad. — M.: Fizmatlit, 2004. — 280 sid.
↑ Verzhbitsky V. M. Grunderna för numeriska metoder. - M . : Högre skola , 2009. - S. 80-84. — 840 sid. — ISBN 9785060061239 .

Länkar

Kuksenko SP, Gazizov TR Iterativa metoder för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer med en tät matris. - Tomsk: Tomsk State University , 2007. - 208 sid. - ISBN 5-94621-226-5 .
Forsythe J., Moler K. Numerisk lösning av system av linjära algebraiska ekvationer. - Moskva: Mir , 1969. - 166 sid.

Metoder för att lösa SLAE
Direkta metoder	Matrismetod Gauss metod Gauss-Jordan-metoden Cramer metod LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning Sopa metod
Iterativa metoder	Jacobi metod Gauss-Seidel-metoden Iterationsmetod Avslappningsmetod Konjugerad gradientmetod Bikonjugerad gradientmetod Stabiliserad bikonjugatgradientmetod
Allmän	invers matris Projektionsmetoder för att lösa SLAE Förkonditionering

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig