Legendres sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 maj 2016; verifiering kräver 1 redigering .

Legendres sats är ett uttalande om villkoren för existensen av lösningar för en viss underklass av kvadratiska diofantiska ekvationer , fastställd av Legendre 1785 .

Formulering

Ekvationen

aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,

vars koefficienter inte alla är av samma tecken och är parvisa coprimtal , har en icke-trivial lösning i heltal om och endast om: $a,b,c$ $(X,Y,Z)$

$-ab$ är den kvadratiska resten modulo , $c$
$-före Kristus$ är den kvadratiska resten modulo , $a$
$-ca$ är den kvadratiska resten modulo . $b$

Om bevis

Nödvändigheten av dessa villkor är uppenbar, tillräckligheten följer av Minkowski-Hasse-satsen för kvadratiska former : en kvadratisk form representerar noll i om och endast om den representerar noll i och i alla fält av -adiska tal . För lösbarhet i , behövs olika tecken, för lösbarhet i för , behövs ovanstående symmetriska relationer. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $sid$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $p\mid abc$

Koppling till fyrkvadratsatsen

Detta teorem kan användas för att bevisa Lagranges fyrkvadratsats, som säger att alla naturliga tal kan skrivas som summan av fyra kvadrater. Gauss påpekade att fyra kvadraters sats lätt följer av det faktum att varje positivt heltal lika med 1 eller 2 är summan av 3 kvadrater, eftersom alla positivt heltal som inte är delbart med 4 kan reduceras till denna form genom subtraktion. 0 eller 1 av det. Beviset för Three Squares Theorem är dock betydligt svårare än det direkta beviset för Four Squares Theorem, som inte använder Three Squares Theorem. Faktum är att fyrkvadratsatsen bevisades tidigare, 1770.

Litteratur

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Talteori. - M . : Nauka, 1985. - S. 77-80. — 504 sid.