Liouvilles sats om approximation av algebraiska tal

Liouvilles approximationssats för algebraiska tal är en sats som säger att algebraiska irrationaliteter inte kan approximeras för väl av rationella siffror . Nämligen, om är ett algebraiskt antal grader , och och är alla heltal , då gäller följande olikhet : $\alfa$ $n>1$ $sid$ $q$ $(q\neq 0)$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n))))

där är en positiv konstant som endast beror på och uttrycks explicit i termer av konjugerade kvantiteter. $C$ $\alfa$ $\alfa$

Med denna teorem konstruerade Liouville först exempel på transcendentala tal . Ett sådant tal är till exempel talet som representeras bredvid snabbt minskande termer, till exempel

\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!)}}.

Generaliseringar

För Liouvilles sats ger ett resultat som inte går att förbättra. För Liouvilles teorem har upprepade gånger förstärkts. $n=2$ $n\ge 3$

År 1909 fastställde Thue det för algebraiska antal grader och ojämlikhet $\alfa$ $n$ $\nu >{\frac {n}{2}}+1$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu ))))

(*)

Siegel förbättrade Thues resultat genom att visa att den sista ojämlikheten håller för

\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s \höger)

, var är ett heltal,

s

i synnerhet kl . Senare bevisade F. Dyson giltigheten av denna ojämlikhet för . Slutligen konstaterade K. Roth att ojämlikheten (*) är giltig för alla . Resultatet av K. Roth är det bästa i sitt slag, eftersom alla irrationella tal , algebraiska eller inte, har oändligt många rationella approximationer som uppfyller ojämlikheten $\nu >2{\sqrt {n}}$ $\nu >{\sqrt {2n))$ $\nu >2$ $\xi$ $p/q$

{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Alla förstärkningar av Liouvilles sats som nämns ovan har en betydande nackdel - de är ineffektiva, nämligen: metoderna för deras bevis tillåter inte en att fastställa hur konstanten i ojämlikheten beror på kvantiteterna och . $C=C(\alpha ,\;\nu )$ $\alfa$ $\nu$

Se även

Liouville nummer

Länkar

Michael Filaseta. Början av transcendentala siffror