Mittag-Lefflers sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 mars 2015; verifiering kräver 1 redigering .

Mittag -Lefflers sats om sönderdelning av en meromorf funktion är en av huvudsatserna i teorin om analytiska funktioner, som för meromorfa funktioner ger en analog till sönderdelningen av en rationell funktion till enkla bråk.

Sats

Låt en meromorf funktion ha poler med huvuddelar på punkter , och låt det finnas segment av Taylor-expansionerna i potenser av . Sedan finns det en sekvens av heltal och en hel funktion så att det för alla finns en nedbrytning som konvergerar absolut och enhetligt i vilken ändlig cirkel som helst . $F Z)$ $z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots$ $g_{k}({\frac {1}{z-a_{k))})=G_{k}(z)$ $h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p) }(0)}{p!}}z^{p}$ $g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k))}\right)$ $z$ $p_{{k}}$ $f_{{0}}(z)$ $z\neq a_{{k}}$ $f(z)=f_{0}(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_ {k}}}\right)-h_{k}^{p_{k}}(z)\right\}$ $|z|\leqslant A$

Konsekvens

Varje meromorphic funktion kan representeras som summan av en serie , där är en hel funktion, är de viktigaste delarna av Laurent expansioner vid polerna av , numrerade i stigande ordning av deras moduler, och är några polynom. $F Z)$ $f(z)=h(z)+\summa _{{n=0}}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)$ $h$ $g_{n}$ $F Z)$ $P_{n}$

Litteratur

Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funktioner för en komplex variabel och några av deras tillämpningar. - M .: Nauka, 1964. - S. 313