Moris teorem

Morries lag är ett slumpmässigt namn för följande trigonometriska identitet

\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8)).

Detta är ett specialfall av den mer allmänna identiteten

2^{n}\cdot \prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\ alfa )}{\sin(\alpha )))

vid n = 3 och a = 20°. "Moris teorem" fick sitt namn från Richard Feynman , som använde denna identitet under detta namn. Feynman använde detta namn eftersom han som barn lärde sig den specificerade identiteten av en pojke som heter Maury Jacobs och sedan kom ihåg satsen för resten av sitt liv under detta namn. [ett]

En liknande relation för sinus gäller också:

\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ})\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8 }}

Dessutom, genom att dividera den andra identiteten med den första, får vi identiteten för tangenten:

\operatorname {tg} (20^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (40^{\circ})\cdot \operatorname {tg} (80^{\circ })={\sqrt {3}}=\operatörsnamn {tg} (60^{\circ }).

Bevis

Vi använder den välkända formeln för sinus för en dubbel vinkel

\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).

Att uttrycka härifrån får vi $\cos(\alpha )$

\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha ))).

Då har vi

{\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\\[6pt]\cos(4\alpha ) &={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{{n-1 }}\alpha )&={\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).\end{aligned} }

Genom att multiplicera de vänstra delarna av dessa likheter på varandra respektive de högra delarna - på varandra får vi:

\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{{n-1}}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )} {2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{ 2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).

Efter att ha reducerat bråken kommer det att finnas en sinus från den sista täljaren och en sinus från den första nämnaren, samt 2 i n -potensen i nämnaren:

\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{ n}\sin(\alpha )}},

Denna identitet är den allmänna formen av Moris sats.

Anteckningar

↑ W. A. Beyer, J. D. Louck och D. Zeilberger , En generalisering av en nyfikenhet som Feynman kom ihåg hela sitt liv , Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Länkar

Weisstein, Eric W. Morrie's Law (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .