Mason-Stothers teorem

Mason-Stothers teorem är en analog till abc -hypotesen för polynom . Uppkallad efter Stothers, som publicerade den 1981, [1] och Mason, som återupptäckte den därefter. [2]

Formulering

Låta vara parvisa coprime polynom över fältet så att minst en av dem har en icke-noll-derivata. Sedan $a(t),b(t),c(t)$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatörsnamn {rad} (abc))-1.

Här är radikalen i polynomet, detta är produkten av olika irreducerbara faktorer . För algebraiskt slutna fält är radikalen i ett polynom ett polynom av minimal grad med samma uppsättning rötter som y ; i det här fallet är det helt enkelt antalet distinkta rötter . [3] $\operatörsnamn {rad} f$ $f$ $f$ $f$ $\deg \operatörsnamn {rad} f$ $f$

Exempel

Över fält med karakteristik 0 är villkoret att minst en derivata inte är noll ekvivalent med det faktum att minst ett polynom inte är en konstant. Ovanför karakteristiska fält räcker det inte att kräva att alla är icke-konstanta. Till exempel ger identiteten ett exempel där , och . $a',b',c'$ $p>0$ $a,b,c$ ${\displaystyle 1+t^{p}=(1+t)^{p))$ $\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}=p$ $\deg(\operatörsnamn {rad} (abc))=2$
Om vi tar , då får vi ett exempel där likhet uppnås i Mason-Stothers sats, vilket visar att skattningen i satsen i någon mening är oförbättrad. ${\displaystyle a(t)=t^{n},c(t)=(t+1)^{n))$
En enkel konsekvens av Mason-Stothers sats är en analog till Fermats sista sats för funktionsfält: om för parvisa coprime egenskaper över ett fält som inte delar , och , då åtminstone en av noll eller alla konstanter. ${\displaystyle a(t)^{n}+b(t)^{n}=c(t)^{n))$ $a,b,c$ $n$ $n > 2$ $a,b,c$

Bevis

Av villkoret följer att och . Låt oss beteckna . Av detta följer att den delar sig . Eftersom alla GCD är parvis coprime, delar deras produkt sig . $a+b=c$ $b'a-ba'=c'a-a'c$ $a'b-ab'=c'b-cb'$ $W=a'b-ab'$ ${\text{gcd}}(a,a'),{\text{gcd}}(b,b'),{\text{gcd}}(c,c')$ $W$ $W$

Det är också klart att . Tvärtom: om , då , sedan delar , därför (eftersom för alla icke-konstant ). På samma sätt får vi det , vilket motsäger villkoret. $W\neq 0$ $W=0$ $a'b=ab'$ $a$ $a'$ $a'=0$ $\deg a>\deg a'$ $a$ $b'=0,c'=0$

Från båda påståendena får vi det

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg W

Per definition har vi $W$ $\deg W\leqslant \deg a+\deg b-1$

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg a+\deg b-1

För vilket polynom som helst är det sant att . Att ersätta här och ersätta in i ojämlikheten ovan får vi $P$ $\deg P-\deg \operatörsnamn {rad} (P)\leqslant \deg {\text{gcd}}(P,P')$ $P=a,b,c$

\deg abc-\deg(\operatörsnamn {rad} (a)\operatörsnamn {rad} (b)\operatörsnamn {rad} (c))\leqslant \deg a+\deg b-1

det får vi

\deg c\leqslant \deg \operatörsnamn {rad} (abc)-1

vilket är vad som krävdes.

Snyder gav ett elementärt bevis för Mason-Stothers sats. [fyra]

Generaliseringar

Det finns en naturlig generalisering där polynomringen ersätts av endimensionella funktionsfält .

Låta vara ett algebraiskt stängt fält av karakteristiska 0, låt vara en jämn projektiv kurva av släktet , och låt vara rationella funktioner på så att , Och låt vara en uppsättning punkter i som innehåller alla nollor och poler av . Sedan $k$ $C/k$ $g$ $a,b\in k(C)$ $C$ $a+b=1$ $S$ $C(k)$ $a,b$

\max\{\deg(a),\deg(b)\}\leqslant \max\{|S|+2g-2,0\}.

Här är graden av funktionen till graden av avbildningen inducerad från till . $k(C)$ $C$ $P^{1}$

Detta bevisades av Mason, och ett alternativt kortare bevis publicerades av Silverman samma år. [5]

Det finns en ytterligare generalisering som ges av Voloch [6] och oberoende av Brownawell och Musser [7] som ger en övre gräns för ekvationer för vilka det är sant att det inte finns några delmängder av som är -linjärt oberoende. Under dessa antaganden bevisade de det $a_{1}+\ldots +a_{n}=1$ $a_{i}$ $k$

\max\{\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n})\}\leqslant {\frac {1}{2}}n(n-1)\max\ {|S|+2g-2,0\}.

Länkar

↑ Stothers, W.W. (1981), Polynomial identities and hauptmoduln , Quarterly J. Math. Oxford , 2 Vol. 32: 349–370 , DOI 10.1093/qmath/32.3.349 .
↑ Mason, RC (1984), Diophantine Equations över funktionsfält , vol. 96, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge, England: Cambridge University Press .
↑ Lang, Serge . Algebra (obestämd) . - New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , 2002. - S. 194 . — ISBN 0-387-95385-X .
↑ Snyder, Noah (2000), An alternate proof of Masons theorem , Elemente der Mathematik vol 55 (3): 93–94, doi : 10.1007/s000170050074 , < http://cr.yp.to/bib/2000 snyder.pdf > Arkiverad 6 september 2015 på Wayback Machine .
↑ Silverman, JH (1984), S-enhetsekvationen över funktionsfält, Proc. Camb. Philos. soc. T. 95: 3–4 .
↑ Voloch, JF (1985), Diagonalakvationer över funktionsfält, Bol. soc. Brasilien. Matta. T. 16:29–39 .
↑ Brownawell, W. D. & Masser, D. W. (1986), Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. soc. T. 100: 427–434 .

Externa länkar

Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Mason-Stothers teorem och ABC-förmodan