Picards sats (differentialekvationer)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Picards sats är en sats om existensen och det unika hos en lösning på en vanlig differentialekvation av första ordningen .

Formulering

Låta

y'=f_{t}(y)

en vanlig differentialekvation , och är ett vektorfält beroende på tid . Låt oss låtsas som det ${\displaystyle y=y(t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $f_{t}(y)$ $t$

visas kontinuerligt och $(t,y)\mapsto f_{t}(y)$
för alla fasta , är mappningen Lipschitz $t$ $y\mapsto f_{t}(y)$

Då finns det för alla ε > 0 så att det på intervallet finns en lösning på ekvationen med initiala data $y_0$ $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ $y(0)=y_{0}$

Den lokala versionen av satsen är också sann.

Länkar

Arnold V.I. Vanliga differentialekvationer. M.: MTSNMO, 2018 - 344 sid.
Coddington, Earl A. Teorin om vanliga differentialekvationer / Earl A. Coddington, Norman Levinson. - McGraw-Hill , 1955. - ISBN 9780070992566 .
Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des approximations successives aux equations différentielles ordinaires du premier order" . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 118 :454-7.(I denna publikation diskuterar E. Lindelöf en generalisering av det synsätt som tidigare föreslagits av E. Picard .)