Reshetnyaks majoriseringssats

Reshetnyaks majoriseringsteorem är en bekväm karakterisering av CAT(k)-rymden .

Bevisades av Yuri Grigoryevich Reshetnyak 1960, i samma papper bevisade han limningssatsen .

Formulering

Låta vara ett CAT(κ)-utrymme och en sluten likriktbar kurva. I fallet om , anta dessutom att det är kortare än . Sedan finns det en konvex figur i jämförelseplanet med en omkrets lika med längden och en kort avbildning så att avsmalningen sammanfaller med . $X$ $\gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to X$ $\kappa >0$ $\gamma$ ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot \pi }{\sqrt {\kappa ))))$ $\Phi$ $\kappa$ $\gamma$ $s:\Phi \to X$ ${\displaystyle s|_{\partial \Phi ))$ $\gamma$

Anteckningar

Kartläggningen i formuleringen kallas majorisering . $s:\Phi \to X$ $\gamma$
En konvex figur kallas en majorizer . $\Phi$ $\gamma$

Konsekvenser

Alla slutna geodetiska i CAT(1)-rymden har en längd på minst . $2\cdot \pi$

Litteratur

Yu. G. Reshetnyak. Om teorin om krökningsutrymmen inte större än K // Matem. lör - 1960. - T. 52 (94) , nr 3 . - S. 789-798 .