Tonelli-Fubini-satsen

Tonelli - Fubini-satsen i matematisk analys , sannolikhetsteori och relaterade discipliner reducerar beräkningen av dubbelintegralen till upprepade.

Formulering

Låt två mellanslag med -ändliga mått $\sigma$ ges . Beteckna med deras produkt . Låt funktionen vara integrerbar med avseende på måttet . Sedan $\left(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}\right),\;i=1,\;2$ $\left(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{ 1}\otimes \mu _{2}\right)$ $f\kolon X_{1}\ gånger X_{2}\till \mathbb{R}$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$

funktionen är definierad -nästan överallt och integrerbar med avseende på ; $x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_ {2}\right)$ $\mu_{1}$ $\mu_{1}$
funktionen är definierad -nästan överallt och integrerbar med avseende på ; $x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_ {1}\right)$ $\mu_{2}$ $\mu_{2}$
det finns jämlikheter

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left( dx_{1}\right)

och

\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}} f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left( dx_{2}\höger).

Specialfall

Sannolikhetsteori

Låta vara sannolikhetsutrymmen och vara en slumpvariabel på . Sedan $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $X\kolon \Omega _{1}\ gånger \Omega _{2}\to \mathbb{R}$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$

{\mathbb {E}}_{{{\mathbb {P}}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2}}}[X]={\mathbb {E}}_{{ {\mathbb {P}}_{1}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{2}}}[X]\right]={\mathbb { E}}_{{{\mathbb {P}}_{2}}}\left[{\mathbb {E}}_{({\mathbb {P}}_{1}}}[X]\right ],

där indexet anger sannolikhetsmåttet i förhållande till vilket den matematiska förväntan tas .

Matematisk analys

Låt den Riemann-integrerbara funktionen av två variabler på en rektangel , dvs. Sedan $f\kolon D=[a,\;b]\ gånger [c,\;d]\till \mathbb{R}$ $[a,\;b]\ gånger [c,\;d]$ $f\in \mathbb{R} (D)$

\iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^ {d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f( x,\;y)\,dx\right]\,dy,

där integralen på vänster sida är tvådimensionell, och resten är iterativ endimensionell. Det antas att itererade integraler existerar.

Bevis

Varje partition av en uppsättning erhålls av vissa partitioner av ett segment och segment , och volymen av en rektangel bestäms av , där finns vissa partiella segment av partitioner. Överväg sedan följande integraluppskattningar $\lambda$ $[a,\;b]\ gånger [c,\;d]$ $\lambda _{{x}}$ $X=[a,\;b]$ $\lambda _{{y}}$ $[CD]$ $X_{{i}}\ gånger Y_{{j}}$ $V\left(X_{{i}}\ gånger Y_{{j}}\right)=\left|X_{{i}}\right|\cdot \left|Y_{{j}}\right|$ $X_{{i}},Y_{{j}}$

\int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)

och lägre och övre integralsummor av funktionen och : Sedan, med integrerbarhet med avseende på , det vill säga likhet från ovanstående uppskattningar, existerar även integralen och har samma värde som ${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)$ ${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$
${\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\summa \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\gånger Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ vänster|Y_{j}\höger|\höger)\left|X_{i}\höger|$
$\sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\ höger|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|$
${\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\summa \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\ ;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\gånger Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\ vänster|Y_{j}\höger|\höger)\left|X_{i}\höger|$
$f$ $X\ gånger Y$ $\sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)$ $(*)$ $\iint \limits _{X\ gånger Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.$

Se även

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys . - M . : Nauka Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1984. - S. 131-138.