Hobby-Rice-satsen

Hobby-Rice-satsen dök först upp och bevisades 1965 [1] när man övervägde frågor om optimal approximation av funktioner i ett Labesgue-rum . Ett enklare bevis för satsen gavs av Pinkus [2] 1976. Används även vid rättvis divisionsproblem . $L_{1}$

Teorem (anpassad version)

Låt oss dela segmentet [0,1] med en talföljd i delintervall: ${\displaystyle \{z_{i}\))$ $k+1$

0=z_{0}<z_{1}<\dotsb <z_{k}<z_{k+1}=1

Vi definierar en signerad partition som en partition där varje delintervall har ett tillhörande tecken : $i$ $\delta _{i}$

{\displaystyle \delta _{1},\dotsc ,\delta _{k+1}\in \left\{+1,-1\right\))

Hobby-Rice-satsen säger att för alla k kontinuerligt integrerbara funktioner:

g_{1},\dotsc ,g_{k}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}

det finns en signerad partition av segmentet [0,1] så att:

\sum _{i=1}^{k+1}\delta _{i}\!\int _{z_{i-1}}^{z_{i}}g_{j}(z) \,dz=0{\text{ för }}1\leqslant j\leqslant k.

(med andra ord, för var och en av k- funktionerna är dess integral över positiva delintervall lika med dess integral över negativa delintervall).

Satsen i sin ursprungliga inställning

Låt det existera verkliga funktioner i ett Labesgue-rum , där det finns ett ändligt atomlöst mått på . Sedan finns det , , sådana att $n$ ${\displaystyle \left\{\varphi (x)\right\}_{i=1}^{n))$ $L_{1}([0,1],\mu )$ $\mu$ $[0,1]$ $\{z_{i}\}_{i=1}^{r}$ $r\leq n$ $0=z_{0}<z_{1}<\ldots <z_{r}<z_{r+1}=1$

\sum _{j=1}^{r+1}(-1)^{j}\int _{z_{j-1}}^{z_{j}}\varphi _{i}( x)d\mu (x)=0\qquad i=1,\ldots ,n

Generaliserad Hobby-Rice-sats

N. Alon 1987 när han löste problemet med att skära halsbandet [3] formulerade och bevisade han den generaliserade Hobby-Rice-satsen.

Låt kontinuerliga sannolikhetsmått ges på enhetsintervallet . Då är det möjligt att skära enhetsintervallet på platser och bilda från de resulterande bitarna familjer så att för alla . $t$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t))$ $(k-1)\cdot t$ $(k-1)\cdot t+1$ $k$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{k))$ ${\displaystyle \mu _{i}(\cup F_{j})={1 \över k))$ $1\leq i\leq t,\ 1\leq j\leq k$

I fallet får vi Hobby-Rice-satsen. $k=2$

Använd i rättvis divisionsproblem

Låt segmentet [0,1] vara en kaka . Det finns k medlemmar och var och en av k- funktionerna är en densitetsfunktion av värden för en medlem. Vi behöver dela tårtan i två delar så att alla deltagare är överens om att delarna är lika stora. Detta rättvisa divisionsproblem kallas ibland det matchande halveringsproblemet [4] . Det följer av Hobby-Rice-satsen att detta kan göras med k snitt.

Anteckningar

↑ Hobby, Rice, 1965 , sid. 665–670.
↑ Pinkus, 1976 , sid. 82–84.
↑ Ensam, 1987 , sid. 247–253.
↑ Simmons, Su, 2003 , sid. 15–25.

Litteratur

Hobby CR, Rice JR Ett ögonblicksproblem i L 1 approximation // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1965. - Vol. 16 , iss. 4 . - doi : 10.2307/2033900 . — .
Allan Pinkus. Ett enkelt bevis på Hobby-Rice-satsen // Proceedings of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1976. - V. 60 , nr. 1 . - doi : 10.2307/2041117 . — .
Noga Alon. Dela halsband // Framsteg i matematik. - 1987. - Vol. 63 , iss. 3 . - doi : 10.1016/0001-8708(87)90055-7 .
Simmons FW, Su FE Konsensus-halvering via satser från Borsuk-Ulam och Tucker // Mathematical Social Sciences . - 2003. - Vol. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 . Arkiverad från originalet den 10 augusti 2017.