Exakt uppdelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 januari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En exakt indelning , även kallad en lika division eller en överenskommen division , är uppdelningen av en heterogen resurs (till exempel en kaka ) i flera delmängder, så att var och en av personerna med olika smak är överens om utvärderingen av bitarna [1 ] .

Tänk på en kaka som är hälften choklad och hälften vanilj. Alice vill bara ha chokladdelen, och George behöver bara vaniljen. Kakan är uppdelad i tre delar: en bit är 20% choklad och 20% vanilj, den andra delen är 50% choklad och 50% vanilj, och den tredje delen innehåller resten av kakan. Denna uppdelning är konsekvent, eftersom både Alice och George värderar de tre delarna till 20 %, 50 % respektive 30 %.

Som exemplet illustrerar är en överenskommen uppdelning inte nödvändigtvis rättvis. Till exempel, om en bit på 20 % ges till Alice och en bit på 50 % ges till George, är detta uppenbarligen inte rättvist mot Alice. I tårtskärningsteori används ofta konsekventa divisioner som underprocedurer för att skapa rättvisa divisioner.

Överenskomna indelningar finns alltid, men de kan inte hittas av diskreta protokoll (med ett begränsat antal frågor). I vissa fall kan exakta indelningar hittas genom att flytta knivprotokoll. Nästan exakta indelningar kan hittas med diskreta protokoll.

Definitioner

Låt det finnas k vikter vars summa är 1. Antag att alla deltagare betygsätter hela kakan C till 1. ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{k))$

Exakt uppdelning (eller konsekvent uppdelning ) i ett förhållande är att dela kakan i k bitar: , så för varje medlem i och vilken bit j som helst : ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{k))$ ${\displaystyle C=X_{1}\sqcup \cdots \sqcup X_{k))$

V_{i}(X_{j})=w_{j}

Det vill säga att det råder enighet bland alla deltagare om att värdet av pjäs j är exakt [1] . ${\displaystyle w_{j))$

Nästan exakt uppdelning

För varje -nästan exakt division i ett förhållande är en division där $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{k))$

|V_{i}(X_{j})-w_{j}|<\varepsilon

Det vill säga att det råder enighet bland alla deltagare om att värdet på pjäsen j är nästan exakt lika och skillnaden är mindre än [1] . ${\displaystyle w_{j))$ $\varepsilon$

Perfekt uppdelning

En perfekt division är en division där en resurs delas upp mellan n deltagare med subjektiva uppskattningar, vilket ger varje deltagare exakt 1/ n av resursen enligt uppskattningarna av alla deltagare. Detta är ett specialfall av exakt division där alla vikter är 1/ n .

Exakt division med godtyckligt antal snitt

Styckvis homogen tårta, många deltagare, valfri vikt

En kaka kallas styckvis homogen om den kan delas in i R -regioner så att alla deltagare är överens om att densitetsvärdet för värdemåttet i varje region är homogent. Tänk till exempel på en rund tårta där 4 fjärdedelar har olika typer av dekorationer (grädde, glasyr, frukt och choklad). Konkurrenter kan betygsätta varje typ av dekoration olika, men de skiljer inte på olika tårtbitar med samma dekoration. Det betyder att värdet av varje del för varje deltagare endast beror på summan de får från varje område.

Påståendet att kakan är styckvis homogen motsvarar påståendet att uppskattningarna av de olika deltagarna i divisionen är styckvis konstanta - varje stycke av kakan är homogen om och bara om det är skärningspunkten mellan n stycken av n deltagare.

När kakan är styckvis homogen (och uppskattningarna är styckvis konstanta) kan en konsekvent uppdelning erhållas enligt följande:

Låt oss dela upp varje region i k subregioner så att sub -region j innehåller exakt regionerna. ${\displaystyle w_{j))$
Låt bit j vara föreningen av j -:te underregioner i alla R -regioner. Detta definierar en konsekvent division för de givna vikterna.

Denna algoritm kan generaliseras till en lite mer allmän familj av värdemått som bitvis linjära mått [2] .

Antalet snitt som krävs är , där R är lika med antalet regioner. $kR$

Allmän tårta, många deltagare, vilken vikt som helst

Om kostnadsmåtten är countably additiva och atomless , då en konsekvent partition existerar för varje uppsättning av vikter vars summa är 1. Detta är en konsekvens av Dubins-Spanier konvexitetssatsen .

Woodall [3] visade att det är möjligt att konstruera en sådan skiljevägg på en intervallkaka som en räknebar förening av intervall.

Skiss: Överväg delningsproceduren för bitvis homogena kakor som beskrivs ovan. I allmänhet är kakan inte bitvis homogen. Men eftersom prismåtten är kontinuerliga är det möjligt att bryta upp kakan i mindre och mindre ytor så att ytorna blir mer och mer enhetliga. När denna process konvergerar till en överenskommen uppdelning. $R\to \infty$

Fremlin visade att det är möjligt att konstruera en sådan division som en finit union av intervall.

Stromquist och Woodall [4] har visat att detta är möjligt med ett minsta antal intervaller, se Stromquist-Woodalls sats .

Exakt division med ett minimum antal snitt

Låt oss anta att kakan är ett intervall som består av n olika delintervall, och var och en av de n deltagarna utvärderar bara ett område. Sedan kräver en konsekvent uppdelning av kakan i k delmängder skärningar, eftersom vart och ett av områdena måste skäras i k bitar, som är lika i ögonen på deltagaren som utvärderar detta område. Därför finns det en intressant fråga om det alltid är möjligt att få en konsekvent uppdelning med detta exakta antal snitt. $n\cdot (k-1)$

Intervallkaka, två deltagare, många delmängder, valfri vikt

Två deltagare kan nå en överenskommen division med Austins Moving Knife-procedur .

Det enklaste fallet är vikter 1/2, vilket betyder att de vill skära kakan på ett sådant sätt att de båda kommer överens om att få halva värdet av kakan. Detta görs på följande sätt. En av deltagarna flyttar två knivar över kakan från vänster till höger, och håller alltid värdet mellan knivarna exakt lika med 1/2. Det kan bevisas (genom mellanvärdessatsen ) att någon gång kommer värdet mellan knivarna för den andra deltagaren också att vara exakt 1/2. En annan deltagare utbrister "stopp!" vid denna tidpunkt skärs biten av.

Samma protokoll kan användas för att skära av en pjäs där båda spelarna är överens om att dess värde är exakt . $1/n$

Genom att kombinera flera sådana bitar kan du få en konsekvent division för alla förhållanden som är rationella tal . Detta kan dock kräva ett stort antal snitt.

Ett bättre sätt att få en konsekvent uppdelning är att identifiera kakans två slutpunkter så att den kan ses som en cirkel. Det vill säga när den högra kniven når den högra änden går den omedelbart till den vänstra änden och biten mellan knivarna anses nu vara föreningen av biten till höger om den högra kniven (som var den vänstra kniven innan) och biten till vänster om vänster kniv (som var den högra kniven innan). ). Då kan vi hitta en konsekvent indelning för alla . En deltagare flyttar knivarna cykliskt runt kakan, och håller alltid värdet mellan dem exakt lika med p . Det kan bevisas att någon gång värdet mellan knivarna för den andra deltagaren blir exakt lika med p [5] . En annan deltagare utbrister "stopp!" vid denna tidpunkt skärs biten av. Det kräver bara två snitt. $p\in [0,1]$

Genom att upprepa proceduren ovan kan en konsekvent uppdelning uppnås för de två deltagarna för valfritt antal delmängder. Antalet klipp är , där är lika med antalet delmängder. $2(k-1)$ $k$

Från och med 2015 var ingen generalisering av denna rörliga knivprocedur till fler än 2 deltagare känd [6] .

Intervallkaka, många deltagare, två delmängder, lika vikter

Anta att kakan är ett intervall med totalt värde 1. Den bör delas upp i delmängder, som var och en har ett värde på exakt 1/2 för alla n deltagare. Vi vill använda det minsta antalet snitt, vilket är . $k=2$ $n(k-1)=n$

En sådan uppdelning finns alltid [7] . Detta är en direkt följd av Hobby-Rice-satsen . Detta kan också visas på grundval av Borsuk-Ulam-satsen [8] :

Vilken partition som helst av ett intervall som använder skärningar kan representeras som en längdvektor , där elementen är längden på delintervallen. $n$ $n+1$
Vilket element som helst i vektorn kan vara antingen positivt (om det tillhör chunk #1) eller negativt (om det tillhör chunk #2).
Uppsättningen av alla partitioner är en sfär . $S^{n}$
Definiera enligt följande: för vilken partition som helst kommer x att vara en vektor vars i -te element är värdet av bit #1 i denna partition enligt deltagare i minus 1/2. $V:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $V(x)$
Funktionen V är kontinuerlig. Dessutom, för alla x . $V(x)+V(-x)=0$
Därför, genom Borsuk-Ulam-satsen , finns det x så att . I denna split värderar alla deltagare pjäs #1 (och pjäs #2) till exakt 1/2. $V(x)=0$

En konsekvent uppdelning i två delmängder kan hittas baserat på Tuckers lemma , som är en diskret version av Borsuk-Ulam-satsen [9] .

Även om deltagarnas preferenser modelleras av mått, kräver bevisen inte att värderingsmåtten är additiv undergrupp. Mätningar av uppskattningar kan också vara kontinuerliga funktioner på uppsättningar definierade på Borel kompletta algebror och som uppfyller alla egenskaper för åtgärder förutom räknebar additivitet. Då krävs det inte att poängen för medlemmarna i delmängderna av kakan är additivt separerbara [9] .

Intervallkaka, många deltagare, många delmängder, lika vikter

Existenssatsen från föregående avsnitt kan generaliseras från bitar till ett godtyckligt antal bitar. Detta bevisades av Noga Alon i hans papper från 1987 om uppdelningen av halsbandet . $k=2$

Det finns olika mått på ett intervall, alla absolut kontinuerliga med avseende på längden. Måtten på hela halsbandet, enligt måttet , är lika med . Sedan är det möjligt att dela upp intervallet i delar (inte nödvändigtvis kontinuerliga), så att värdet på varje del, enligt måttet , är exakt lika med . Inga fler snitt behövs och detta värde är optimalt. $n$ $i$ ${\displaystyle k\cdot a_{i))$ $k$ $i$ $a_{i}$ $(k-1)n$

Intervallkaka, många deltagare, två delmängder, godtyckliga vikter

Existenssatsen från föregående avsnitt generaliseras till godtyckliga vikter av Stromquist-Woodalls sats .

Flerdimensionell tårta, många deltagare, många delmängder, lika vikter

Stone-Tukey- satsen säger att givet n mätbara "objekt" i det n - dimensionella rymden, kan man dela dem alla (enligt deras mått , d.v.s. volym) med ett enda ( n - 1) -dimensionellt hyperplan .

Med andra ord: om kakan är ett mellanslag och måtten på deltagarnas betyg är ändliga och lika med noll på vilket dimensionellt hyperplan som helst, så finns det ett halvt mellanrum , vars värde är exakt 1/2 för varje deltagare. Därför finns det en konsekvent uppdelning med en enhetsskärning . $\mathbb {R} ^{n}$ $n-1$

Den ursprungliga versionen av detta teorem fungerar bara om antalet på tårtan är lika med antalet deltagare. Det är till exempel inte möjligt att tillämpa denna sats på att dela upp en 3-dimensionell smörgås i fyra deltagare.

Det finns dock generaliseringar som tillåter en sådan uppdelning. De använder inte en hyperplankniv, utan använder mer komplexa polynomytor [10] .

Nästan exakta delningsprocedurer

Smula-och-pack-proceduren

För en given kan du ge varje deltagare en bit så att alla deltagare tror att alla värden skiljer sig med mindre än , det vill säga för alla i och alla j [1] : $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

|V_{i}(X_{j})-w_{j}|<\varepsilon

Den nästan exakta delningsproceduren har två steg: smula sönder och packning .

Smula steg : Målet är att skära kakan i små bitar ("smulor"), så att varje tävlande tilldelar ett tillräckligt litet värde till varje smula. Detta görs på följande sätt. Låt k vara någon konstant. Låt oss be deltagare 1 skära tårtan i k bitar så att priset för varje bit blir 1/ k . Låt oss be deltagare #2 att dela upp bitarna (med högst k -1 snitt) så att varje bit har ett pris på högst 1/ k . Dessa nya bitar har naturligtvis fortfarande ett värde som inte överstiger 1/ k för deltagare #1. Vi fortsätter proceduren med partners nr 3, nr 4, ..., nr n . Slutligen överstiger inte priserna för alla n deltagare i varje smula 1/ k .

Packningssteg : Målet här är att dela upp smulorna i n delmängder så att summan av värdena i varje delmängd j är nära w j . Nedan finns en icke-strikt förklaring av packningssteget för två deltagare (Alice och George) när vikterna är 1/2 [1] .

Vi tar en tom kopp.
Lägg en av smulorna i en skål.
Om storleken på koppen blir mer än 1/2 för någon av deltagarna ger vi koppen till denna deltagare och ger resten av smulorna till en annan deltagare.
Annars (värdet i koppen är mindre än 1/2 för båda deltagarna), om värdet i koppen är större för Alice än för George, hittar vi en smula som är mer värdefull för George än för Alice (en sådan smula måste existerar, eftersom summan av smulornas värden är 1 för både Alice och George). Låt oss lägga till denna smula i koppen och gå vidare till steg 2 i algoritmen.

Det kan bevisas genom induktion att skillnaden mellan Alices och Georges värdering av koppen aldrig är större än 1/ k . Därför, när en partner får en kopp, värderar båda deltagarna den mellan 1/2-1/ k och 1/2+1/ k .

Formellt kan varje del representeras som en vektor av värden, en per deltagare. Längden på varje vektor är begränsad, det vill säga för varje sådan vektor v : . Vårt mål är att skapa för varje deltagare j en vektor, vars alla element är nära w j . För att göra detta måste vi dela upp vektorerna i delmängder så att summan av vektorerna för varje delmängd j är tillräckligt nära en vektor vars element alla är lika med w j . Detta är möjligt genom W. Bergströms sats [11] [12] . $||v||\leqslant {\sqrt {n}}/k$

Smul-och-pack-proceduren är en underprocedur i Robertson-Webb-protokollet . Detta protokoll producerar en division som är både nästan exakt och avundsfri .

En annan förklaring till crumb-and-pack-proceduren gavs av Brahms och Taylor [13] .

Mekanismer för ärlighet

Alla konsensusdelningsalgoritmer bygger på värderingsmått som tillhandahålls av deltagarna. Om deltagaren vet hur algoritmen fungerar kan de ha en anledning att ljuga för att få mer än i en rättvis division. För att förhindra detta kan mekanismer för (sanningsfulla) kompatibla incitament [2] [14] användas .

Den enklaste mekanismen för sanningsenlig division är: vi väljer en deltagare slumpmässigt (med en sannolikhet som bestäms av vikter) och ger honom hela kakan. Denna mekanism är trivialt sann eftersom den inte ställer några frågor. Det är dock förväntat konsekvent: det förväntade värdet för varje deltagare är exakt lika med vikten, och detta gäller för alla värdemått. Den resulterande partitionen är dock inte på något sätt en konsekvent uppdelning.

Bättre är en sanningsenlig divisionsmekanism som fungerar för en kaka där alla vikter är 1/ n och kan byggas från vilken befintlig algoritm (eller orakel) som helst för att hitta en konsekvent division:

Vi ber varje deltagare att rapportera sina poäng.
Använd en befintlig algoritm/orakel för att generera en partition där alla n bitar kostar exakt 1/ n enligt de funktioner som rapporterats av deltagarna.
Vi utför en slumpmässig permutation på en konsekvent partition och ger varje deltagare en av bitarna.

Här är varje deltagares förväntade värde fortfarande 1/ n oavsett den rapporterade betygsfunktionen, så mekanismen förblir sann – ingen deltagare kan dra nytta av att ljuga. Dessutom garanterar en sanningsenlig deltagare ett värde som är exakt lika med 1/ n med sannolikhet 1 (inte bara av förväntan). Därför har deltagarna ett incitament att visa de verkliga funktionerna i betygen.

Omöjlighet

Det är omöjligt att uppnå en exakt uppdelning i ett ändligt antal förfrågningar, även för två deltagare och vikter exakt lika med 1/2 [15] . Det betyder att det bästa som kan uppnås med en diskret algoritm är en nästan exakt uppdelning.

Bevis : Om protokollet är i steg k , har det en samling av högst k stycken. För att utföra en exakt uppdelning måste protokollet hitta en exakt delmängd – delmängden av bitar som båda parter utvärderar till exakt 1/2. Vi kommer att bevisa att det för varje k finns situationer där det inte finns någon exakt delmängd i steg k , och därför kommer protokollet att fortsätta på obestämd tid.

Inledningsvis finns det bara en bit som båda deltagarna värderar till 1, så uppenbarligen finns det ingen exakt delmängd. Efter ett steg får en deltagare (säg Alice) i uppdrag att skära tårtan. Även om Alice skär kakan i två delar som hon tycker är lika, kan de vara olika enligt George, så återigen finns det ingen exakt delmängd.

Antag nu att vi är i steg k och det finns k bitar. Utan förlust av allmänhet kan vi anta att varje del har ett värde som inte är noll för båda deltagarna. Detta beror på att om Alice (till exempel) skär en bit som hon värderar till 0, kan George också värdera den biten till 0, så vi kan kassera den biten och fortsätta med andra bitar.

Det totala antalet distinkta delmängder är nu 2k , och enligt induktionshypotesen är ingen av dem en exakt partition. I steg k kan protokollet be Alice eller George att skära en bit i två delar. Antag, utan förlust av allmänhet, att George var skäraren och att han skär bit X i två understycken: X1 och X2. Nu är det totala antalet delmängder 2k +1 : hälften av dem finns redan och är av antagande inte exakta, så den enda chansen att hitta en exakt delmängd är att leta efter nya delmängder. Varje ny delmängd är gjord av en gammal delmängd där bit X ersätts med antingen X1 eller X2. Eftersom George är en skärare kan han skära på ett sätt som gör en av dessa delmängder till en exakt delmängd av honom (till exempel om någon delmängd som innehåller en bit av X har värdet 3/4, kan George skära X så att X1 har ett värde på 1/4, enligt hans åsikt, så att den nya delmängden har ett värde på exakt 1/2). George känner dock inte till Alices poäng och kan inte ta hänsyn till dem när han klipper. Därför finns det ett oräkneligt antal olika värden som utvärderingarna av bitarna X1 och X2 för Alice kan ha. Eftersom antalet nya delmängder är ändligt, finns det ett oändligt antal fall där ingen ny delmängd har värdet 1/2 för Alice, därför är ingen ny delmängd exakt.

Jämförelse med andra kriterier

Exakt division med lika vikt ( ) är i synnerhet också proportionell , fri från avund och opartisk . $1/n$

Det är dock inte nödvändigtvis Pareto-effektivt , eftersom det i många fall är möjligt att få en förbättring av subjektiva uppskattningar och dela upp resurser så att alla deltagare får mer än sin beskärda del av . $1/n$

Exakta divisioner är mycket lättare om deltagarna samarbetar för att fastställa andelarna snarare än att konkurrera som i en rättvis division . Vissa författare kallar det en konsekvent uppdelning [16] .

Sluttabell

namn	Sorts	Kaka	Uppskattningar [17]	antal deltagare ( n )	antal delmängder ( k )	antal nedskärningar	vikt
Austin	Procedur för att flytta kniv	Intervall	Lura	2	Massor	$2(k-1)$ (optimal)	Några
Styckvis homogen	diskret procedur	Styckvis homogen	Con+Add+Pwl	Massor	Massor	Antal regioner	Några
Dubinsa - Spanien	Bevis på existens	Några	Con+Add	Massor	Några	Obegränsat	Några
Konsekvent uppdelning	Oändlig procedur	Intervall	Lura	Några	2	n (optimal)	Likvärdig
skära av halsbandet	Bevis på existens	Intervall	Con(+Lägg till?)	Några	Några	$n(k-1)$ (optimal)	Likvärdig
Stromkvist - Woodall	Bevis på existens	Runda	Con+Add	Några	2	$2n-2$ (optimalt för vissa vågar)	Några
Sten - Tukey	Bevis på existens	n -dimensionell	Con(+Lägg till?)	n	2	1 halvplan	Likvärdig
smula-och-packa	Nästan exakt procedur	Några	Con+Add	Några	Massor	Obegränsat	Några

Se även

Fair Cake Cutting Challenge

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 Robertson, Webb, 1998 , sid. 127.
↑ 1 2 Chen, Lai, Parkes, Procaccia, 2013 , sid. 284–297.
↑ Woodall, 1980 , sid. 233–247.
↑ Stromquist, Woodall, 1985 , sid. 241–248.
↑ Fischer, Daniel. Konsensusdelning av en kaka till två personer i godtyckliga förhållanden . Math.SE. Hämtad: 23 juni 2015. (obestämd)
↑ Det finns en generalisering som ger var och en av de n deltagarna en bit med ett pris exakt enligt hans uppskattning. Men detta är inte en överenskommen split, eftersom deltagarna kanske inte kommer överens om priset på andra pjäser som inte tillhör honom. Se avsnittet "Många deltagare" i Austin's Moving Knife Procedures . $1/n$
↑ Goldberg, West, 1985 , sid. 93–106.
↑ Alon, West, 1986 , sid. 623.
↑ 12 Simmons , Su, 2003 , sid. 15–25.
↑ Grünbaum, 1960 , sid. 1257–1261.
↑ Bergström, 1930 , sid. 205–219.
↑ Robertson, Webb, 1998 , sid. 126-128.
↑ Brams och Taylor 1996 , sid. 131–133.
↑ Mossel och Tamuz, 2010 , sid. 288–299.
↑ Robertson, Webb, 1998 , sid. 103-104.
↑ de Longueville, Živaljević, 2008 , sid. 926–939.
↑ Krav på funktionerna för bedömning av deltagare. Mindre krav innebär mer generella resultat. Con=Kontinuerlig; Con+Add=Additivitet; Con+Add+Pwl=Styckvis linjära funktioner.

Litteratur

Jack Robertson, William Webb. Tårtskärningsalgoritmer: Var rättvis om du kan. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, 1998. - ISBN 978-1-56881-076-8 .
Yiling Chen, John K. Lai, David C. Parkes, Ariel D. Procaccia. Sanning, rättvisa och kakskärning // Spel och ekonomiskt beteende. - 2013. - T. 77 , nr. 1 . - doi : 10.1016/j.geb.2012.10.009 .
Woodall DR Dividing a cake fairly // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1980. - T. 78 . - doi : 10.1016/0022-247x(80)90225-5 .
Walter Stromquist, D.R. Woodall. Uppsättningar där flera mått överensstämmer // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1985. - T. 108 . - doi : 10.1016/0022-247x(85)90021-6 .
Charles H. Goldberg, Douglas B. West. Bisektion av cirkelfärgningar // SIAM Journal om algebraiska och diskreta metoder. - 1985. - T. 6 . - doi : 10.1137/0606010 .
Noga Alon, Douglas B. West. Borsuk-Ulams teorem och halvering av halsband // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1986. - T. 98 , nr. 4 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1986-0861764-9 .
Elchanan Mossel, Omer Tamuz. Truthful Fair Division. - 2010. - T. 6386. - (Lecture Notes in Computer Science). - ISBN 978-3-642-16169-8 . - doi : 10.1007/978-3-642-16170-4_25 .
Forest W. Simmons, Francis Edward Su. Konsensushalvering via Borsuk-Ulams och Tuckers satser // Mathematical Social Sciences. - 2003. - T. 45 . - doi : 10.1016/S0165-4896(02)00087-2 .
Branko Grunbaum. Uppdelningar av massfördelningar och konvexa kroppar med hyperplan // Pacific J. Math .. - 1960. - Vol. 10 , nr. 4 . - doi : 10.2140/pjm.1960.10.1257 .
Zwei Sätze über ebene Vectorpolygone // Hamburgische Abhandlungen. - 1930. - T. 8 .
Steven J. Brams, Alan D. Taylor. Fair Division: Från kakskärning till tvistlösning. - 1996. - ISBN 978-0-521-55644-6 .
Mark de Longueville, Rade T. Zivaljević. Dela flerdimensionella halsband // Framsteg i matematik. - 2008. - T. 218 , nr. 3 . - doi : 10.1016/j.aim.2008.02.003 . - arXiv : math/0610800 .