Borsuk-Ulams teorem

Borsuk-Ulam-satsen är en klassisk teorem av algebraisk topologi , som säger att varje kontinuerlig funktion som mappar en dimensionell sfär till ett dimensionellt euklidiskt utrymme för något par av diametralt motsatta punkter har ett gemensamt värde. Informellt är påståendet känt som "Temperature and Pressure Theorem": vid varje given tidpunkt finns det antipodalpunkter på jordens yta med lika temperatur och lika tryck [1] ; det endimensionella fallet illustreras vanligtvis av två diametralt motsatta punkter på ekvatorn med samma temperatur. $n$ $n$

Uttalandet möts första gången av Lyusternik och Shnirelman i ett papper från 1930 [2] [3] ; det första beviset publicerades 1933 av Borsuk , som citerade Ulam som författaren till formuleringen.

Formulering

För en kontinuerlig funktion , där är en sfär i -dimensionell euklidiska rymden , det finns två diametralt motsatta punkter så att . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\mathbb S}^{n}$ $(n+1)$ $a,-a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(-a)$

Variationer och generaliseringar

Ett ekvivalent påstående är den gemensamma nollsatsen : varje udda (med avseende på diametralt motsatt) kontinuerlig funktion från -dimensionell sfär till -dimensionell euklidisk rymd försvinner vid en av punkterna: . Ekvivalens etableras genom att införa en udda funktion för en kontinuerlig funktion . I det endimensionella fallet följer den gemensamma nollsatsen direkt från mellanvärdessatsen ; det allmänna beviset använder Gurevich-isomorfismen (algebraisk-topologisk variant), eller härleds från Tuckers lemma ( kombinatorisk variant; Tuckers lemma anses vara en kombinatorisk analog till Borsuk-Ulam-satsen). ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $n$ $n$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $g(a)=0$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $g(x)=f(x)-f(-x)$

År 1954 generaliserade Abram Ilyich Fet resultatet [4] : påståendet om satsen gäller inte bara för förhållandet mellan antipoder, utan också för en godtycklig involution av en dimensionell sfär, det vill säga för varje involution och varje kontinuerlig funktion finns det en sådan punkt att [5] [ 6] . $n$ ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(a^{*})$

Anteckningar

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementär topologi . - MCMNO, 2010. - 352 sid. - ISBN 978-5-94057-587-0 . Arkiverad 19 februari 2012 på Wayback Machine
↑ L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman. Topologiska metoder i variationsproblem // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics vid Moscow State University (specialnummer). — 1930.
↑ Jiri Matousek. Med hjälp av Borsuk–Ulam-satsen. - Berlin: Springer Verlag, 2003. - ISBN 3-540-00362-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 .
↑ Kerin - Nudelman, 1983 , sovjetisk matematiker A. Fet, med hjälp av subtila och starka medel för topologi, fann att Borsuk-Ulam-satsen (även i dess dimensionella version) förblir giltig om en godtycklig involution ges på sfären , sid. 25. $n$ $S$ $P\to P'$
↑ A. I. Fet. En generalisering av Lyusternik-Shnirelmans sats om täckning av sfärer och några relaterade satser // Dokl . - 1954. - T. 95 , nr 6 . Arkiverad från originalet den 25 januari 2020.
↑ A. I. Fet. Involutionära kartläggningar och täckningar av sfärer // Proceedings of the Seminar on Functional Analysis. - Voronezh University , 1955. - Utgåva. 1 .

Litteratur

K. Borsuk. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre (tyska) // Fund. Math.. - 1933. - Bd. 20 . - S. 177-190 . $n$
FE Su. Borsuk-Ulams teorem antyder Brouwers fixpunktsats Borsuk—Ulam implicerar Brouwer: A Direct Construction // Amer . Matematik. En gång i månaden. - 1997. - Vol. 104 . - s. 855-859 .
M. Crane , A. Nudelman . Borsuk-Ulam-satsen, eller något om väder, en tränad häst och tvådimensionella fält // Kvant . - 1983. - Nr 8 . - S. 20-25 .