Engels teorem

Engels teorem ger motsvarigheten av två olika definitioner av nilpotens för Lie algebras . Uppkallad efter Friedrich Engel .

Formulering

En änddimensionell Lie-algebra är nilpotent om och endast om operatorn är nilpotent för någon. $\mathfrak{g}$ $X\in {\mathfrak {g))$ $\operatörsnamn {ad} _{X}$

Obligatoriska definitioner

Låta vara en finitdimensionell Lie-algebra över ett godtyckligt fält k . If — delmängder , betecknar sedan mängden av alla ändliga summor av element i formen där $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {a)],{\mathfrak {b))$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]$ $[X,Y],$ $X\in {\mathfrak {a)),\;Y\in {\mathfrak {b)).$

Den nedre centrala serien av Lie-algebra definieras rekursivt:

{\mathfrak {g}}^{0}={\mathfrak {g}},\;{\mathfrak {g}}^{i+1}=[{\mathfrak {g}},{\ mathfrak {g}}^{i}]

En Lie-algebra sägs vara nilpotent om för något tal. På motsvarande sätt, om vi introducerar notationen kommer Lie-algebra att vara nilpotent om för något naturligt tal n ${\mathfrak {g}}^{n}=0$ $\operatörsnamn {ad} _{X}(Y)=[X,Y],\$

ad X 1 ad X 2 ⋅⋅⋅ ad X n = 0

för godtyckligt . $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g)),$