Igelkottskamningssats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 augusti 2020; kontroller kräver 4 redigeringar .

Igelkottskamningssatsen säger att på en sfär är det omöjligt att välja en tangentriktning vid varje punkt, som är definierad vid alla punkter i sfären och kontinuerligt beror på punkten. Informellt sett är det omöjligt att kamma en igelkott ihoprullad på ett sådant sätt att inte en enda nål sticker ur den - därav omnämnandet av en igelkott i teoremets titel.

Med hjälp av hedgehog combing theorem [1] kan fixpunktssatsen som erhölls 1912 av Brouwer [2] bevisas .

Formulering

Det finns inget kontinuerligt tangentvektorfält på sfären som inte försvinner någonstans [3] .

Anteckningar

• Med andra ord, om  är en kontinuerlig funktion som definierar en vektor som tangerar sfären vid var och en av dess punkter, så finns det åtminstone en punkt så att .

• En annan version av "hedgehog theorem" ser ut så här: Låt vara  ett kontinuerligt vektorfält som inte är noll på sfären. Sedan finns det en punkt där fältet är vinkelrät mot sfären.

Konsekvenser och tillämpningar

Varje kontinuerlig karta av en sfär på sig själv har antingen en fast punkt eller mappar någon punkt på sin diametralt motsatta. Detta blir tydligt om vi transformerar avbildningen till ett kontinuerligt vektorfält på följande sätt. Låt vara  en kartläggning av sfären på sig själv, och  vara det obligatoriska vektorfältet. För vilken punkt som helst konstruerar vi en stereografisk projektion av punkten på tangentplanet vid punkten . Då  är projektionsförskjutningsvektorn med avseende på . Genom igelkottskamningssatsen finns det en punkt sådan att , så . Beviset misslyckas endast om för någon punkt är motsatt , eftersom det i detta fall är omöjligt att konstruera dess stereografiska projektion på tangentplanet vid punkten . Det måste finnas en cyklon på jorden. En intressant meteorologisk tillämpning av denna sats erhålls genom att betrakta vinden som ett kontinuerligt vektorfält på planetens yta. Låt oss betrakta ett idealiserat fall där fältkomponenten vinkelrät mot ytan är försumbart liten. Igelkottskamningssatsen säger att det alltid kommer att finnas en punkt på planetens yta där det inte finns någon vind (noll av tangentvektorfältet). En sådan punkt kommer att vara centrum för en cyklon eller anticyklon: vinden kommer att virvla runt denna punkt (den kan inte riktas mot eller ut ur denna punkt). Således, enligt igelkottskamningssatsen, om åtminstone någon vind blåser på jorden, måste det någonstans finnas en cyklon . För en virtuell kamera finns det ingen unikt definierad kontinuerlig "top" vektor. Det finns ingen kontinuerlig funktion i , som för varje vektor genererar en vinkelrät. I datorgrafik är den traditionella positionen för kameran , som ser från punkt A vid objekt B, följande: en viss riktning ("top") väljs och den önskade vektorn ("frame top") är den ortogonala komponenten av toppriktningen till vektorn AB. Naturligtvis, när kameran behöver titta rakt upp eller ner, är denna vektor noll. Teoremet säger att även i rymden, där det inte finns några "upp" och "ner", är det omöjligt att göra en sådan kartläggning så att den är både entydig och utan sådana speciella riktningar.

Variationer och generaliseringar

• Mer generellt kan det visas att en viss summa av nollor i ett tangentvektorfält måste vara lika med 2, Eulerkarakteristiken för en tvådimensionell sfär, så det måste finnas minst en nolla. Detta är en konsekvens av Poincarés vektorfältsats . För en tvådimensionell torus är Euler-karakteristiken 0, så den kan "kammas". I allmänhet har varje kontinuerlig tangentvektorfält på ett kompakt regelbundet 2 - grenrör med Euler-karakteristik som inte är noll minst en nolla.

• Sambandet med Euler-karaktäristiken antyder en korrekt generalisering: på den -dimensionella sfären finns det ingenstans ett kontinuerligt vektorfält som inte är noll ( ). Skillnaden mellan jämna och udda dimensioner är att de dimensionella Betti-talen för den dimensionella sfären är 0 för alla utom och , så deras alternerande summa är 2 för jämn och 0 för udda.

• Ett mycket nära uttalande från algebraisk topologi är baserat på Lefschetz fixpunktssats . Eftersom Betti-talen för den tvådimensionella sfären är lika med 1, 0, 1, 0, 0, …, så är Lefschetz-talet (fullständig spår på homologi ) för den identiska mappningen lika med 2 . Genom att integrera vektorfältet erhåller vi (åtminstone i ett litet område med 0) en enparameters diffeomorfismgrupp på sfären där alla kartor är homotopiska till identiteten. Följaktligen har de alla också ett Lefschetz-nummer 2 och har därför fixpunkter (eftersom deras Lefschetz-nummer inte är noll). Det kan bevisas att dessa punkter verkligen kommer att vara nollor i vektorfältet. Detta föranleder en formulering av den mer allmänna Poincaré vektorfältsatsen .

Se även

• Poincarés vektorfältsats

Anteckningar

1. ↑ "det var inte förrän 1912 som det allmänna fallet bevisades av den holländska matematikern LEJBrouwer" Arkiverad 10 maj 2022 på Wayback Machine / The Hairy Ball Theorem. Mark Joppolo. AfterMath Issue 5, 2008, University of Western  Australia
2. ↑ L.E.J. Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912) Volym: 71, sid 97-115; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e Arkiverad 17 juli 2020 på Wayback Machine , fulltext Arkiverad 17 juli 2020 på Wayback Machine  (tyska)
3. ↑ Hairy Ball Theorem - från Wolfram MathWorld . Hämtad 20 maj 2020. Arkiverad från originalet 10 januari 2020. (obestämd)

Litteratur

• Murray Eisenberg, Robert Guy. Ett bevis på den håriga bollsatsen . — American Mathematical Monthly. — Vol. 86- Nej. 7 (aug.-sep., 1979). - s. 571–574.